阅读与思考 函数概念的发展历程教学目标

函数概念的发展史

四川省都江堰中学

曾小红

在我国，函数概念与记号是由外国传入的。1859年，清代一个不懂外文的数学家、翻译家李善兰，与懂汉语的英国传教士伟烈亚力(A. Wjlie,1815一1887年)合译《代数学》与《代数积拾级》数学书时，首次将“function”翻译为中文的“函数”。在《代数学》第七卷中译有“凡式中含天，为天之函数”的句子(意思是说，凡一式中含有x，则称之为关于x的函数)，因为我国古代以天、地、人、物四元表示未知数，并将函数符号f(x)用一个汉字“函”代替。

函数概念，可以追溯到公元前4000年，就有了函数的原始形态。到了公元前2000年，巴比伦人广泛使用60进制的各种数表，如倒数表、平方表、立方表以及更高次乘方表、平方根表、立方根表等[1]。塞硫西国王统治时期，巴比伦天文学家编制的星历表内有大量的表格函数，这些来自经验的、用表格描述的函数成了以后整个天文学的数学基础。

再到古希腊时期，数学和自然科学中又有了函数的新进展。毕达哥拉斯学派为了探究声学基本原则，试图去寻找不同物理量之间的相互依赖关系。到了后来的亚历山大时期，天文学家又建立了三角学，根据弧长来确定弦长，现存最早的表见于托勒密的《天文大成》中，它给出从1/2度到180度每1～2度所有弧长所对的弦长(直径为120单位长度)。古希腊人还将研究了曲线，三次方程的求根问题，除了没有使用系统的符号，古希腊人已经在函数的依赖关系以及使用新方法来研究这些关系上都取得很大的成就。尽管如此，却任然没有提出一般性的函数概念。这是由于古希腊科学家亚里斯多德曾指出:数学研究的是抽象的概念，而抽象概念来自事物静止不动的属性。例如数学中的数、线、形，这些数学对象都不包括运动，这大大阻碍了函数概念的发展。

直到14世纪，数学家才研究运动问题。当时，法国数学家奥雷姆（N. Oresme，1320～1382）在《论形态幅度》这部著作中提出的形态幅度原理(或称图线原理)，甚至已接触到函数的图象表示，在这里，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”（相当于横坐标与纵坐标）这两个地理学术语来描述他的图线。其中心思想是用图形来表示一个可变量的质，这个量依赖于另外一个量。

这种方法被16世纪天文学家开普勒（Kepler，1571～1630）和伽利略（Galileo，1564～1642）应用于关于天体运行方面的研究。开普勒根据他的老师第谷布拉赫的观测数据得出了行星运动的三 [1] M克莱因:古今数学思想，第一册，上海:上海科学技术出版社，2002年，6～7.

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大定律。伽利略关于自由落体、单摆的研究，始终包含着两个量同时变化的思想，如“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离，与所用的时间平方成正比”，“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”。这些话清楚地表明他是在讨论一种函数关系，只是他还没有把它们用符号形式表示出来而已，函数概念已经到了呼之欲出的阶段。

在函数概念尚未明确提出之前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等，只是把这些函数作为曲线来研究的。

[2]1637年，法国哲学家、数学家笛卡尔的《几何学》出版，标志着解析几何的诞生。在《几何学》中第一次涉及到“未知和未定的量”（也就是莱布尼兹的“变量”），注意到了“一个变量对于另一个变量的依赖关系”的函数思想。马克思和恩格斯对此都作过高度的评价，“笛卡儿发明的解析几何，是函数概念从萌芽到产生，并且开始新的发展和具有重要意义的标志或里程碑。”（马克思）；“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”（恩格斯）。

1665年英国物理学家、数学家、哲学家牛顿(I. Newton,1642～1727年)研究微积分时，一直用“流量”这个词表示变量间的关系[3]。

公元1667年，英国数学家格雷哥里(J. Gregory,1638～1675年)在《论圆与双曲线的求积》里第一次扩张了函数概念。他最早解释函数：“函数是从其他的一些量经过一系列代数运算而得到的，或者经过其他可以想像的运算而得到的”。这里的运算指五种运算(加、减、乘、除、开方)和求极限运算。这一定义被认为是解析的函数定义之始。但因该定义有很大的局限，也没有给出它所说函数的记号，很快被人遗忘了[4]。

1673年，莱布尼茨在《切线的逆方法或函数方法》的手稿里用“function”（即函数）表示“任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量”——如切线、次切线、法线、次法线等的长度及纵坐标。并且他强调这条曲线是以方程式给出的。这种用函数表示几何量的方法，被后人称为“函数概念的几何起源”，其实，这正是函数图象表示法定义之始。莱布尼茨在这本手稿里，还引进了“常量”、“变量”、“参变量”等名称，他还创用记号x,x2,x3等来表示x的函数[5]。

1696年，瑞士数学家约翰·伯努利(B.John, 1667～1748年)与莱布尼兹的通信中，使用莱布尼兹的“函数”表示解析式。

[2][3] M克莱因:古今数学思想，第二册，上海:上海科学技术出版社，2002年，43. M克莱因:古今数学思想，第二册，上海:上海科学技术出版社，2002年，46. [4] M克莱因:古今数学思想，第二册，上海:上海科学技术出版社，2002年，46. [5] M克莱因:古今数学思想，第二册，上海:上海科学技术出版社，2002年，46. 2

1697年，莱布尼茨的学生约翰·伯努利(B.John, 1667～1748年)在研究中要反应刻画运动过程和各种变化量之间的相依关系，他定义：“变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式”，并且用字一母n表示变量z的一个函数。他又用大写字母X和相应的希腊字母表示变量x的函数。

1698年瑞士数学家约翰•贝努利(B.Johann)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数。他在 1718年，用符号“x”表示x的函数，并强调函数要用公式来表示。这是函数概念的第二次扩张。

同一时期(1695年)雅各布第一伯努利则用p和q表示变量x的任意两个函数。1718年他又创用符号“x”表示x的函数[6]。“变量”一词也是这时引入的。这个定义较前有进步，但仍是用解析式来定义，是不确切的，但他首次给出了表示函数的一种符号x，沿用至今。

1734年，欧拉在他的著作中，首次使用f(c)表示c的函数。即用f(x)表示x的函数，一直沿用至今。

用函数的解析式定义函数也有很大的局限性，比如某些变量之间的对应关系不能用解析式表达，那么根据这个定义就不能称为函数关系。这时，由于科技发展的需要，正确规定函数的概念的紧迫感引起了数学家的注意。

1746年，法国数学家达朗贝尔(Jean Le Rond d'Alembert,1717-1783)在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数。欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：“函数是x,y平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”，即把函数定义为一条随意画出来的曲线。欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数(“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的)。但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．两人争论很久，谁也没有说服谁。后来，约翰的儿子丹尼尔(B. Daniel,1700～1782年)也参加争论，他提出了一个企图调解的折中的定义。但两位长者都不同意丹尼尔的观点，并狠狠地反驳。初生牛犊不怕虎，丹尼尔仍坚持自己的理论， [6]xaxa M克莱因:古今数学思想，第二册，上海:上海科学技术出版社，2002年，46.

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后被法国数学家傅里叶(J.B.J. Fourier,1768～1830年)证明他是对的。

1748年，约翰的学生欧拉(L. Euler,1707～1783年)在《无穷量分析引论》中称“常量是指固定的保持不变的量”，“变量是不确定的，可以去不同数值的量”给出了他的第二个函数定义:“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式。”这也是解析式表示法。

同时，法国数学家克莱罗(A.C.Clairaut, 1713～1765年)用大写希腊字母，而不用括号表示函数符号，如“x”、“x”、“x”等。

1775年，欧拉在《微分学》中第三次扩张了函数的概念。给出他的第三个函数定义:“如果某变量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。”他仍用f(x)表示函数符号。欧拉这个定义可叫“依赖变化”定义，朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了从“自变”到“因变”过程，因此被认为是科学函数概念的雏形。现在看来，欧拉的定义强调“随之变化”而缩小了函数概念的外延。

1797年，法国数学家拉格朗日(J.Lagrange, 1736～1813年) 从分析学的角度对函数概念做了扩展：“所谓一个或几个变量的函数是任意一个适合于计算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中。”并且大力推动使用英文记号“f”与“F”和希腊字母“”，“”表示函数，使数坛至今采用f(x),F(x),(x),(x)表示函数。

1821年，法国数学家柯西(Cauchy，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。这就是函数概念的“变量说”。虽然柯西的这个定义把前面三次扩充函数定义时采用的解析式、图像法纠缠不清的问题给予澄清，但他把生动的函数变化思想省略简化掉了。

1822年法国数学家傅里叶（Fourier，1768——1830）在他的名著《热的解析理论》中定义为：“通常函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的毎一个都是任意的……我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个。”在该书里，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数,即任意一个以a02为周期的函数，在区间[,]内，可以由f(x)(ancosnxbnsinnx)表示，其2n14

中an1f(x)cosnxdx，an1f(x)sinnxdx。傅里叶的研究，说明了某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，证明在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，把对函数的认识又推进了一个新层次。

1829年德国数学家狄利克雷(Dirichlet，1805－1859) 给出了下面的著名函数:f(x)0(x是无理数)。这个函数具有四个特点: 1(x是有理数)（1）没有公式——函数概念从解析式子中解放了出来; （2）没有图形——函数概念从几何直观中解放了出来; （3）不连续——历史上第一个间断函数，开了研究不连续函数的先河; （4）没有实际背景——函数概念从客观世界这一束缚中解放了出来。

这表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，“人造”的特征开始展现出来。这种思想也标志着数学从研究“算”到研究“概念、性质、结构”的转变的开始。

1834俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样一个数，它对于毎一个x都有确定的值。并且随着x一起变化，函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系，可以求出毎一个x的对应值。

1837年，德国的两位数学家黎曼(B.Riemann,1826～1866年)和狄利克雷(P.G.L. Dirichlet, 1805～1859年)给出了定义：“在某一变化过程中，有两个变量x,y，在某一法则的作用下，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与其相对应，这时，就称y是”

x的函数。这时，x是自变量，y是因变量。狄利克雷和黎曼的定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受，这就是人们常说的经典函数定义——“对应说”。“对应说”这里建立了变量与函数之间的对应关系，“对应”是函数概念的一种本质属性，这是函数概念的一个重要发展，即函数概念第四次扩充。这就是初中教材对函数的定义。

1sinx(x0)法国数学家达布（G.Darboux,1842～1917）给出了一个函数y，打破(x0)0了人们对连续函数的直观理解。

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1861年，“现代分析之父”德国数学家魏尔斯特拉（Weierstrass,1815～1897）给出了一个函数：f(x)bncos(anx)，其中a为奇数，b(0,1)的常数，使得ab1n03。2这个函数处处连续，但处处不可微。

1874年，德国数学家康托尔(G. Cantor, 1845^-1918年)建立集合论之后，美国数学家维布伦(Veblen，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义：“给定两个集合A和B，如果按照某种确定的对应关系，对A的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则这种对应关系称为从A集合到集合B的函数。这是函数概念的第五次扩充，这就是高中教材对函数的定义。

到了20世纪初，人们给出了函数的现代定义，它把函数定义为满足条件“若（x1,y1)f，（x1,y2)f,则y1y2”的二元关系。这是函数概念“关系说”的雏形，也是函数概念的第六次扩充。

到了20世纪中叶，更广泛的函数概念：

设集合X,Y，我们定义X与Y的积集XY{(x,y)|xX,yY}。积集XY中的一子（x,y)R，则称为x与y有关系，记为xRy；若（x,y)R，集R称为X与Y的一个关系，若则称为x与y无关系，记为xRy。

（x,y)f，（x,z)f，必有yz，则称f现设f是X与Y的关系，即f:XY，如果为X到Y的函数。这就是函数概念的“关系说”，也是函数概念的第七次扩充。

总的来说，函数概念大致经历了这样几个阶段：把研究的曲线当作函数；把由一个变量和一些常量以任何方式形成的解析表达式作为函数；用对应关系定义的函数；用集合定义的函数。但是，随着数学的横向和纵向发展，函数概念到此还没有终结，还在发展。分析函数概念的形成历史，我们可以看出几点：首先，函数概念的形成是由研究静止现象到研究运动、变化现象的结果。其次，函数概念的形成是人类活动不断深化的结果，一个小小的函数概念及记号，经过七次扩张，历经300年坎坷泥泞。“试玉要烧三日满，辨材需待七年期”(唐白居易)，函数概念及其记号，终于成了当今初等数学和高等数学王国的中心。时间是检验真理与谬论的公正无私的法官，函数记号f(x),f1(x)，yF(x),y(x),…不仅是数学史上一座高耸的里程碑，而且是人类思维发展史上的一座金光闪闪的纪念碑。

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从函数概念的发展来看，函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法孕育其中。

【主要参考文献】

1. M克莱因:古今数学思想，第二册，上海:上海科学技术出版社，2002年；

2.徐品方，张红：数学符号史，科学出版社，2005年；

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