习题2.1教学设计范文

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指数函数性质的基本应用

【考点精讲】

高考中对指数函数的考查，往往突显在新概念、新定义、新情景中，题目除最基本问题外，还注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想。

1. 比较大小（同底数、不同底数）。

2. 指数在实际中的应用。

3. 指数函数的奇偶性。

【典例精析】

212232323例题1

（），（），（）的大小关系是（

）

335122122232323232323A. （）>B. （）>（）>（）

（）>（）

335353212212232323232323C. （）>D. （）>（）>（）

（）>（）

533335x思路导航：同底数的幂利用ya（a>0，a≠1）的单调性比较，不同底数的幂通过“中间值”比较大小。

答案：在本题中，指数都为分母为3的分数，因此我们可以将指数都化为整数再比较大小。

212223332242222，，4

393352535333244222

，故选A。

3925335

例题2

已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润（万元）与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f（x）＝a1x2＋b1x＋6，g（x）＝a2•3x＋b2，（a1，a2，b1，b2∈R）。

（1）求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；

（2）在同一直角坐标系下画出函数f（x）与g（x）的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况。

思路导航：（1）先根据条件结合函数模型，求得函数，进而再求相应的函数值。

（2）一个二次函数型，一个是指数函数型，可按照提供的几个已知点，结合模型特点作出图象，根据图象找出相等点来，图象在上方的为利润大，在下方的为利润小。

答案：（1）依题意：由∴f（x）＝4x2－4x＋6；

由132323a1b10f(1)6，有，解得：a1＝4，b1＝－4 f(2)144a12b183a2b26g(1)6，有，

9a2b28g(2)8zxxk.com

zxxk.com 解得：a2＝∴g(x)＝

1，b2＝5 31x－•3＋5＝3x1＋5。

3所以甲在今年5月份的利润为f（5）＝86万元，

乙在今年5月份的利润为g（5）＝86万元，

故有f（5）＝g（5），即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等。

（2）作函数图象如图所示：

从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：

当x＝1或x＝5时，有f（x）＝g（x）；

当1＜x＜5时，有f（x）＞g（x）；

当5＜x≤12时，有f（x）＜g（x）。

－2x＋b例题3

已知定义域为R的函数f（x）＝x＋1是奇函数。

2＋a（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范围。

思路导航：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f（0）＝0，f（1）＝－f（－1）。

（2）可考虑将t2－2t，2t2－k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式，也可考虑先判断f（x）的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式。

答案：（1）因为f（x）是R上的奇函数，

－1＋b所以f（0）＝0，即＝0，解得b＝1，

2＋a2x1从而有f（x）＝x1。

2a1－＋12－2＋1又由f（1）＝－f（－1）知＝－，

4＋a1＋a解得a＝2。

2x1（2）方法一：由（1）知f（x）＝x1，

222222t2t122tk1又由题设条件得22t2k10

t2t12222zxxk.com

zxxk.com 即22t2k12222tkt22t12t22t1222t2k1<0。

3t整理得2>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0。

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，

1解得k<－。

312x11方法二：由（1）知f（x）＝x1＝－＋x，

22122由上式易知f（x）在R上为减函数，又因为f（x）是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)f(2t2k)f(2tk)。

因为f（x）是R上的减函数，

由上式推得t2t2tk。

即对一切t∈R有3t2tk0。

1从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－。

3

2222【总结提升】

1. 比较大小的常用方法：

（1）利用函数的单调性比较；

（2）作差法或作商法比较；

（3）媒介法；

（4）图象法。

2. 指数式的大小比较问题，主要有以下几种：

（1）同底数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小。

（2）指数幂a与1的比较：当x<0，00，a>1时，a>1；当x<0，a>1或x>0，0

（3）比较不同底数幂的大小，利用中间量法，常借助中间值0或1进行比较。

（4）对于底数不同，指数相同的指数幂，利用图象来比较大小。

xxx

指数函数性质的基本应用

111. 求函数y＝f（x）＝（）x－（）x＋1，x∈［－3，2］的值域。

422. 曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数y＝a x、y＝b x、y＝c x和y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（

）

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A. a

4. 下图所示的是某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：y＝a t，现有以下叙述，其中正确的是（

）

①这个指数函数的底数为2 ②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2

③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月

④浮萍每月增加的面积都相等

⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3

A. ①②

2B. ①②③④

2x2C. ②③④⑤

D. ①②⑤

5. 求函数y＝ax（a>0，且a≠1）的单调区间和值域。

C. （1，3）

D. （－1，1）

6. 函数y＝(21)(x1)(x3)的单调递增区间是（

）

A. （1，＋∞）

B. （－∞，1）

指数函数性质的基本应用

1. ［3，57］

41解析：将（）x看作一个未知量t，把原函数转化为关于t的二次函数求解。

211∵f（x）＝［（）x］2－（）x＋1，x∈［－3，2］，

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zxxk.com 1211－11）≤（）x≤（）3，即≤（）x≤8。

2224211设t＝（）

x，则≤t≤8。

241将函数化为f（t）＝t 2－t＋1，t∈［，8］。

413∵f（t）＝（t－）2＋，

241∴f（）≤f（t）≤f（8）。

23∴≤f（t）≤57。

43∴函数的值域为［，57］。

4∴（2. D

解析：首先可以根据指数函数单调性，确定c>1，d>1，0

3. （2，－1）∪（1，2）

解析：如果此函数是减函数则00，a2－1<1。

解得a∈（2，－1）∪（1，2）。

4. D

解析：本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质。

由图象得函数解析式应为y＝2 x（x≥0）。

5. 当a1时，在区间（－∞，1］上递增，在区间［1，＋∞）上递减，值域为(0,a3]；当0a1时，在区间(,1]递减，在区间[1,)上递增，值域为[a3,)。

解析：本题是一个复合函数，而且还有未知参数，因此首先要分类讨论，但是在分类讨论之前还要对指数部分的二次函数进行分析判断，在二次函数的单调区间中分类讨论未知参数以确定函数的单调区间和值域。

y＝a

a令t＝g（x）＝－（x－1）2＋3，t在区间（－∞，1］上递增，在区间［1，＋∞）上递减。

y＝f（t）＝a t＝f［g（x）］。

当a>1时，y＝f（t）＝a t递增，

∴y＝f［g（x）］在区间（－∞，1］上递增，在区间［1，＋∞）上递减。

当x＝1时，y max＝a3，

又y＝a t>0，

∴函数的值域为（0，a3］。

当0

∴y＝f［g（x）］在区间（－∞，1］上递减，在区间［1，＋∞）上递增，当x＝1时，ymin＝a3，函数的值域为［a3，＋∞）。

6. B

解析：此函数可以看成是以u＝（x＋1）（x－3）与y＝（2－1）u复合而成的函数，显然y＝（2－1）u单调递减，所以求内层函数也在递减区间即可，借助二次函数图象可知它在（－∞，1）上满足要求。

x22x2(x1)23

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