阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计实例

课时作业4

函数及其表示

一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是

xA．y＝

B．y＝(x)2

xC．y＝lg10x

D．y＝2log2x

x2解析：y＝＝x(x≠0)；y＝(x)2＝x(x≥0)；

xxy＝lg10＝x(x∈R)；y＝2log2x＝x(x>0)．

答案：C 2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是图中的

(

) 2(

)

解析：由图可知，A定义域为[－2,0]，C不是函数，D选项值域不是[0,2]，故排除A、C、D. 答案：B f(x＋3)

(x<6)3．若f(x)＝，则f(－1)的值为

log2x

(x≥6)(

) A．1

B．2 C．3

D．4 解析：f(－1)＝f(2)＝f(5)＝f(8)＝log28＝3. 答案：C 1－x1－x24．已知f，则f(x)的解析式可取为

＝1＋x1＋x2(

) x2xA.

B．－

2

1＋x1＋x22xxC.

D．－

1＋x21＋x2解析：最简单的办法就是采用解选择题的“绝招”——特殊值法，其次我们也可以采用换元法求f(x)的解析式．

1－x1－x方法1：(特殊值法)对于f，

＝1＋x1＋x2令x＝0，代入其中有f(1)＝1，

经检验只有选项C才满足f(1)＝1. 1－x1－t方法2：(换元法)令t＝，由此得x＝，

1＋x1＋t1－t21－1＋t2t所以f(t)＝＝2，

1－t1＋t21＋1＋t2x从而f(x)的解析式可取为. 1＋x2答案：C 5．已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[－2,2])，函数g(x)＝ax－1，x∈[－2,2]，∀x1∈[－2,2]，总∃x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是

(

) 55A．[，＋∞)

B．(－∞，－] 225555C．(－∞，－]∪[，＋∞)

D．[－，] 2222解析：只需要函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集即可．

(1)当a>0时，g(x)＝ax－1单调递增，

∵x∈[－2,2]，∴－2a－1≤g(x)≤2a－1，

－2a－1≤0，要使条件成立，只需2a－1≥4，2

1，a≥－2∴5a≥2，

5∴a≥. 2(2)当a<0时，g(x)＝ax－1单调递减．

∵x∈[－2,2]，∴2a－1≤g(x)≤－2a－1，

2a－1≤0，要使条件成立，只要－2a－1≥4.

a≤2，∴5a≤－2.1

5∴a≤－. 255综上，a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．

22答案：C 6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于

(

) A．2

B．3 C．6

D．9 解析：令x＝y＝0，得f(0)＝0；

令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)＋2＝6；

令x＝2，y＝1，得f(3)＝f(2)＋f(1)＋4＝12；

令x＝3，y＝－3，得0＝f(3－3)＝f(3)＋f(－3)－18＝12＋f(－3)－18，

所以f(－3)＝6. 答案：C

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x 1

2

3 f(x)

1

3

1

x 1

2

3 g(x)

3

2

1

则f[g(1)]的值为__________，满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是__________．

解析：(1)∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f[g(1)]＝1. (2)当x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不符合题意．

当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，符合题意．

当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不符合题意．

答案：1

2 8．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且1φ3＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝__________. 解析：设f(x)＝mx(m是非零常数)，

nng(x)＝(n是非零常数)，∴φ(x)＝mx＋，

xx1由φ3＝16，φ(1)＝8，

116＝3m＋3nm＝3得，解得. n＝58＝m＋n5故φ(x)＝3x＋. x5答案：3x＋

x49．已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b为整数)，值域是[0,1]，则满足条件|x|＋2的整数对(a，b)共有______个．

4解析：令y＝f(x)＝－1，y∈[0,1]，

|x|＋24即0≤－1≤1，解得－2≤x≤2，

|x|＋2故满足条件的整数对(a，b)为(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．

答案：5 三、解答题(共55分) 10．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

3600－3000解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这50时租出了88辆车．

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

x－3000x－3000f(x)＝100－(x－150)－×50 5050x2整理得f(x)＝－＋162x－21000 50

1＝－(x－4050)2＋307050. 50所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050. 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．

11．已知函数f(x)的定义域是[a，b]，且a＋b>0，求下列各函数的定义域：

(1)f(x2)；

(2)g(x)＝f(x)－f(－x)．

b>a，解：(1)依题意，有∴b>0，且b>|a|. a＋b>0.由a≤x2≤b，得

当a≤0时，定义域为[－b，b]；

当a>0时，定义域为[－b，－a]∪[a，b]．

a≤x≤b，a≤x≤b，(2)由得①

a≤－x≤b，－b≤x≤－a.∵a>－b，b>－a，

∴当a>0时，不等式组①的解集为Ø，这时函数g(x)不存在．

当a＝0时，不等式组①的解集为x＝0. 故函数g(x)的定义域为{0}．

当a<0时，不等式组①的解集为a≤x≤－a.

——思维拓展——

12．(1)设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a、b，有f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，求f(x)；

(2)函数f(x)(x∈(－1,1))满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．

解：(1)依题意令a＝b＝x，则

f(x－x)＝f(x)－x(2x－x＋1)，

即f(0)＝f(x)－x2－x，而f(0)＝1，∴f(x)＝x2＋x＋1. (2)以－x代x，依题意有2f(－x)－f(x)＝lg(1－x)①

又2f(x)－f(－x)＝lg(1＋x)②

两式联立消去f(－x)得3f(x)＝lg(1－x)＋2lg(1＋x)，

1∴f(x)＝lg(1＋x－x2－x3)(－1

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