阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计一等奖

三角（必修4第1,3章，必修五第1章）

1.任意角定义：

名称

定义

正角

一条射线按逆时针方向旋转形成的角

图形

O

负角

一条射线按顺时针方向旋转形成的角

O

零角

一条射线没有做任何旋转形成的角

O

2.与角终边相同的角的集合：{|k360,kZ}.

3.使任意角的定点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角. 第一象限的角可以表示成集合：{|0k36090k360,kZ}

第二象限的角可以表示成集合：{|90k360180k360,kZ}

第三象限的角可以表示成集合：{|180k360270k360,kZ}

第四象限的角可以表示成集合：{|270k360360k360,kZ}

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 4.把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角

角度

0

30

45

60

90

120

135

150

180

270

360

6

弧度

0



4

3

22

33

4

5

63

22

弧度制表示的角，不随半径的变化而变化，只与圆心角有关. 5.弧长公式：lnr（初中公式），l||r（高中公式）

18011nr22扇形面积公式：S（初中公式），Slr||r（高中公式）

22360（其中n为角度，为弧度）

1

6.任意角的三角函数：

第一定义：使角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，

在终边上任取一点P，PMx轴于M，

设P(x,y)，|OP|r定义：sin

第二定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 在单位圆中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)那么：siny,cosx.tan

三角函数在各象限的符号：

7.三角函数线：

x2y2

yxy,cos.tan(x0)

rrxy(x0)

x图示

正弦线

余弦线

正切线

2

角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线

有向线段OM即为余弦线

过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或α的终边的反向延长线于点T，有向线段AT即为正切线

8.同角正弦三角函数的基本关系：

基本关系

关系式

平方关系

商数关系

sin2α＋cos 2α＝1

语言叙述

同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的sin απtan α＝(α≠kπ＋，k∈Z)

cos α2正切

9.三角函数诱导公式：

π六组诱导公式统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.k为偶数时，函数名不改变；k为奇数2时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.

公式一

公式二

公式三

公式四

公式五

公式六

10.正余弦函数：

解析式

α

α＋2kπ(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

π－α

2π＋α

2y＝sin x sin α

sin α

－sin α

－sin α

sin α

cos α

cos α

cos α

cos α

－cos α

cosα

－cos α

sin α

－sin α

tan α

tan α

tan α

－tan α

－tan α

y＝cos x

图象

值域

[－1,1]

ππ－＋2kπ，

＋2kπ]，k∈Z在22单调性

上递增，

π3π＋2kπ，＋

2kπ]，在k∈Z上22递减

πx＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x2π＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1

2x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，

在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减

[－1,1]

最值

函数y＝sin ωx，y＝cosωx (ω≠0)的最小正周期是2

||3

11.正切函数：

解析式

y＝tan x

图象

定义域

值域

周期

奇偶性

对称中心

πx|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z

2R



奇

kπ，0

kZ

2ππ－＋kπ，＋kπk∈Z内都是在开区间22增函数

单调性

函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是

12.三角函数图形变换：

. ||1. 对ysin(x)(xR)的图象的影响：

所有点的横坐标变为原来的1y＝sin x的图象向左φ＞0或向右φ＜0――→

y＝sin(x＋φ)的图象――――――――――――――→

平移|φ|个单位长度纵坐标不变所有点的纵坐标变为原来的A倍横坐标不变倍y＝sin(ωx＋φ)的图象――→y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 图象变换有两种途径

(1)y＝sin x――→y＝sin(x＋φ)――→

y＝sin(ωx＋φ)――→y＝Asin(ωx＋φ). (2)y＝sin x――→y＝sin ωx――→y＝sin(ωx＋φ)――→y＝Asin(ωx＋φ). （注意：横向变换是针对x而言）

13.五点作图：

4

周期变换相位变换振幅变换相位变换周期变换振幅变换

用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤：

第一步：列表：

ωx＋φ

x y 0

φ－

ω0

π

2πφ－

2ωωA π

πφ－

ωω0

3π

23πφ－

2ωω－A 2π

2πφ－

ωω0 第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.

14.三角恒等变换：

两角和与差的正余弦公式：

sin()sincoscossin，sin()sincoscossin；

cos()coscossinsin，cos()coscossinsin.

两角和与差的正切公式：

tan()tantantantan，tan()

1tantan1tantan15.辅助角公式：

asinbcosa2b2(aab22sinbab22cos)

提取a2b2的目的在于配凑同角的正余弦值

16.二倍角公式：

sin22sincos，cos2cos2sin22cos2112sin2；

tan2

2tan

1tan217.降幂公式：（利用二倍角公式记忆）

cos2

1cos21cos2,sin2

2218.解三角形：（a,b,c分别为ABC的角A,B,C所对的边）

5

1.正弦定理：a.变形公式：

abc2R（其中R为ABC外接圆半径）

sinAsinBsinC边化角：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC

角化边：sinAabc,sinB,sinC

2R2R2R比例关系：a:b:csinA:sinB:sinC

b.用途：已知三角形两角及任意一边求其它元素；

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其它元素.

2.

余弦定理：abc2bccosA；

222b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC. b2c2a2cosA2bca2c2b2

cosB2aca2b2c2cosC2ab用途：已知三角形两边及夹角求其它元素；

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其它元素；

已知三角形的三边，求其它元素.

3.三角形面积的面积公式：

SABC

111absinCbcsinAacsinB

2226