阅读与思考 函数概念的发展历程ppt课件课堂实录

函数的概念与性质

[复习导读]__________________________________ 函数是中学数学的核心概念，函数的概念与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查．备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强数形结合思想、分类讨论思想．函数与方程思想的应用意识．

[题型突破]__________________________________ 强化点1

函数的定义域与解析式

x2－5x＋6

(1)函数f(x)＝4－|x|＋lg

的定义域为(

) x－3A．(2，3)

B．(2，4] C．(2，3)∪(3，4]

D．(－1，3)∪(3，6] (2)(2014·湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(

) A．－3

B．－1 C．1

D．3 解析：(1)法一

当x＝3和x＝5时，函数均没有意义，故可以排除选项B，D；当x＝4时，函数有意义，可排除选项A，故选C.

法二

4－|x|≥0，2－4≤x≤4，由x－5x＋6得故函数定义域为(2，x＞2且x≠3，x－3＞0，3)∪(3，4]，故选C.

(2)法一

∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，

又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.

法二

令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，

∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.

答案：(1)C

(2)C

1．本例(1)考查了函数定义域的求法，绝对值不等式和分式不等式的求解，注重考查运算求解能力，在利用数轴求交集时，考查了数形结合思想的应用．

2．在求解(2)时，巧妙地沟通未知与已知的内在联系，先求出f(x)＋g(x)的表达式，进而求出f(1)＋g(1)的值，解法简捷明快．

【变式训练】

若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围是________．

解析：由题意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，

∴x2＋2ax－a≥0恒成立，

∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.

答案：[－1，0] 强化点2

函数的值域与最值

已知函数f(x)＝

2x，x≤1，则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．

6x＋x－6，x＞1，61解析：f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－，

42

当x≤1时，f(x)min＝0；

6当x＞1时，f(x)＝x＋－6.

x6令f′(x)＝1－2＝0，解得x＝6(负值舍去)．

x当1＜x＜6时，f′(x)＜0；当x＞6时，f′(x)＞0，

∴f(x)的最小值为f(6)＝6＋6－6＝26－6.

6综上，f(x)的最小值是26－6.

1答案：－

26－6 2

本题运用分段函数问题分段求解的方法，同时利用导数研究函数的最值，体现了分类讨论思想、转化与化归思想的应用．

【变式训练】

已知函数y＝2－x＋x＋2的最大值为M，最小值m为m则为(

) MA.32

B.

2211C.

D.

24解析：∵－2≤x≤2，y2＝4＋24－x2，

∴当x＝0时，M＝22，当x＝±2时，m＝2.

m22∴＝＝.

M222答案：B 强化点3

函数性质的综合应用(多维探究) 高考常将函数的单调性、奇偶性、周期性综合考查，常见的命题角

度有：

(1)单调性与奇偶性渗透；(2)周期性与奇偶性交汇；(3)单调性、奇偶性、周期性综合交汇命题．

角度一

单调性与奇偶性交汇

1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log1a)≤2f(1)，则a的取值范围是(

) 21A．[1，2]

B.0，2

1C.2，2

D．(0，2] 解析：∵f(log1a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为2f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.

∵f(x)是偶函数，

∴f(log2a)≤f(－1)．

1又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.

21综上可知≤a≤2. 2答案：C 角度二

奇偶性与周期性的应用

2．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝

x（1－x），0≤x≤1，则sin πx，1＜x≤2，2941f4＋f6＝________．

解析：由于函数f(x)是周期为4的奇函数，

294137373所以f4＋f6＝f2×4－4＋f2×4－6＝f－4＋f－6＝－f47－f6

π53＝－＋sin ＝.

16616答案：5

16角度三

单调性、奇偶性与周期性综合交汇

3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(

) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，

∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数，

且满足f(x－4)＝－f(x)，

得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．

∵f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，

∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数，

∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．

答案：D

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

1．函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

2．周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

3．单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

【变式训练】下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是(

) 2－xA．f(x)＝sin x

B．f(x)＝ln

2＋x1C．f(x)＝－|x＋1|

D．f(x)＝(ex－e－x) 2解析：对于A，y＝sin x是奇函数，但它在[－1，1]上为增函数；对2－x于B，由(2－x)(2＋x)＞0，得－2＜x＜2，所以f(x)＝ln

的定义域是(－2＋x2＋x2－x2，2)，关于原点对称，因为f(－x)＝ln

＝－ln

＝－f(x)，所以2－x2＋x2－x2－x4f(x)＝ln

是奇函数．又t＝＝－1＋在区间[－1，1]上单调递2＋x2＋x2＋x2－x减，故由复合函数的单调性可知函数f(x)＝ln

在区间[－1，1]上单调2＋x1x－x递减；对于C，f(x)＝－|x＋1|为非奇非偶函数；对于D，f(x)＝(e－e)2是奇函数，但它在[－1，1]上为增函数．

答案：B

一、选择题

2－x1．函数y＝的定义域是(

) lg xA．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1或1＜x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜1或1＜x≤2} 2－x≥0，解析：要使函数有意义只需x＞0，解得0＜x＜1或1＜x≤2，所lg x≠0，2－x以函数y＝的定义域为{x|0＜x＜1或1＜x≤2}．

lg x答案：D 2．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(

) 11A.

B.

42C．2

D．4 1解析：当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，所以a＝，与a21＞1矛盾；当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，loga2＝－1，所以a＝. 2答案：B 3．下列函数是奇函数，并且在定义域上是增函数的是(

) 1A．y＝－

B．y＝ln |x| xx＋1，x＞0C．y＝sin x

D．y＝

x－1，x＜0

1解析：∵y＝ln |x|为偶函数，故排除B；y＝－，

xy＝sin x在其定义域上无单调性，故排除A，C.只有选项D满足．

答案：D 4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单1调递增，则满足f(2x－1)＜f()的x的取值范围是(

) 31212A．(，)

B．[，) 33331212C．(，)

D．[，) 23232x－1≥0，12解析：由已知，得，即≤x＜. 1232x－1＜3答案：D 5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(

) A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3) 解析：因为π＞3＞2，且当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)．

又函数f(x)为R上的偶函数，

所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)，

故f(π)＞f(－3)＞f(－2)．

答案：A

二、填空题

7．若函数y＝log2(ax2＋2x＋1)的值域为R，则a的取值范围为________．

解析：设f(x)＝ax2＋2x＋1，由题意知，f(x)取遍所有的正实数．当aa＞0＝0时，f(x)＝2x＋1符合条件；当a≠0时，则，解得0＜a≤1.Δ＝4－4a≥0所以0≤a≤1. 答案：[0，1] 8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，

1且f()＝0，则不等式f(x)＞0的解集为________．

31解析：由已知f(x)在R上为偶函数，且f()＝0，

31∴f(x)＞0等价于f(|x|)＞f()，

3又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

111∴|x|＞，即x＞或x＜－. 33311答案：{x|x＞或x＜－} 339．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 015)的值为________．

解析：g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分别是偶函数与奇函数，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，则

f(2 015)＝f(504×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0. 答案：0 三、解答题

10．已知函数f(x)＝0，x＝0，x2＋mx，x＜0(1)求实数m的值；

2－x＋2x，x＞0，是奇函数．

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，

要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．

a－2＞－1，结合f(x)的图象知

a－2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．

11．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．

(1)求实数a的取值范围；

(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．

（a＋2）x－4，x≥2，解：(1)f(x)＝

（a－2）x＋4，x＜2，a＋2≥0，要使函数f(x)有最小值，需

a－2≤0，∴－2≤a≤2.

即当a∈[－2，2]时，f(x)有最小值．

故a的取值范围为[－2，2]．

(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，

∴g(－0)＝－g(0)，∴g(0)＝0.

设x＞0，则－x＜0.

∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，

（a－2）x－4，

x＞0，∴g(x)＝0，

x＝0，

（a－2）x＋4，

x＜0.