阅读与思考 函数概念的发展历程主要内容及教案内容

第二章

平面向量

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教材分析

平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分. 前面我们学***面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示. 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学***面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。

教学目标

知识与技能：

1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法. 2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 过程与方法：

通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质. 情感、态度与价值观

通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

教学重难点

1.教学重点：平面向量数量积坐标表示及运算规律；2.教学难点：平面向量数量积的应用。

[来源学科网] 教学过程

一、复习引入：

1．平面向量数量积（内积）的定义：

2．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1

ea = ae =|a|cos；

2

ab  ab = 0 3

当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或|a|[来源学科网Z,X,X,K]

aa

4cos =ab

；

5|ab| ≤ |a||b|

|a||b|二、讲解新课：[ 探究

平面向量数量积的坐标表示科

网ZXXK活动:教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2. 又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,∴a·b=x1x2+y1y2. 教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: 1.平面向量数量积的坐标表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 2.向量模的坐标表示:若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=x2y2. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么

a=(x2-x1,y2-y1),|a|=(x2x1)2(y2y1)2.

3.两向量垂直的坐标表示：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a⊥bx1x2+y1y2=0. （2）a//b

x1y2x2y10

4.两向量夹角的坐标表示：设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定

义及坐标表示,可得cosθ=ab|a||b|x1x2y1y2xyxy21212222

例1:1已知a(3,1),b(1,2),求ab，|a||b|，a与b的夹角.

分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.[ 2

已知a2,3,b2,4,.

则ab

ab例2 已知A(1，

2)，B(2，

3)，C(2，

5)，求证：△ABC为直角三角形. 证明:AB(21,32)(1,1)，AC(21,52)(3,3)

ABAC1(3)130

ABAC

三角形ABC是直角三角形.

[来源:Zxxk.Com]思考：还有其他证明方法吗？

例3:已知a(4,3),求与a垂直的单位向量b

分析：采用方程的思想，联立方程组

例4:已知

a=(1, 0)，b

=(2, 1)，当k为何实数时，向量kab与a3b(1)平行；(2)垂直

活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆, §X§X§K]

三、达标检测

1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(

) ππA.

B.

64ππC.

D.

32【答案】B

1331→→2．已知向量BA＝，，BC＝，，则∠ABC等于(

) 2222A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

【答案】A 3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(

) A．－4

B．－3

C．－2

D．－1 【答案】B 4．已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝____________. 43，－

【答案】555．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．

(1)求a与b的夹角的余弦值；

(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

解

(1)cosa,b

（2）

52925

25

教学反思

首先，我先复习前一节课学过的内容，主要关于平面向量数量积的定义；接下来，探求新知。再复习两个单位向量i，j。先从数量积的坐标表示开始；紧接给出向量的模的坐标表示，然后设计例1关于数量积和模坐标表示的考察；再可以用平面向量解决简单的几何问题，如例2；再接着讲解关于垂直的问题，重复强调数量积为0，并与之前的平行问题进行对比。避免学生混淆这两个知识点。最后讲解关于夹角的问题，强调向量夹角的取值范围，这个是学生容易忽略的问题。四个例题以引导为主，思考主要还是交给学生自己。最后对本堂课进行了小结，由于还有十分钟左右的时间，就让学生思考达标训练。

整体上，可以完成教学任务，由于本节课是在上一节数量积的基础上进行学习的，学生对于数量积的知识掌握得比较好，于是，对于本节课的知识比较容易接受。通过本次课，可以又一次学到很多东西，下一次要做得更好，我要慢慢改进我的语言表达能力，希望课堂气氛可以更加活跃。