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函数概念的发展历程

教学目标：

了解数学史，即函数概念的发展历程，增添文化底蕴。

教学重难点：

如何讲枯燥的数学史讲得生动

教学方式：

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【视频文本】

函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。再也没有其他的例子,如同象动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依依赖并同时发生变化那样，更有利于促使人们产全变量、因变量—产生函数的概念了. 而这又正是解析几何学的主耍内容. 【伽利略】【笛卡尔】

莱布尼兹(Lei -bniz) 在1 6 7 3 年首先提出“

函数”这一名词.他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量.象曲线上的横坐标,纵坐标,切线的长度, 垂线的长度等。牛顿(N e w to n) 几乎同时用另一名词“

流量”

来表示变量间关系。

1697 年, 约翰·伯努利给出了函数的第一个定义: 一个按照任何方式用变量和常量构成的量. 1698年, 他采用了莱布尼兹的说法, 称这个量为“

x 的函数”, 表示为X . 1718 年, 他又明确定义了一个变量的函数:由这个变量和常量的任意一种方式构成的量, 表示为x.伯努利强调的是函数要用公式来表示了，这是函数的解析概念的第一次扩展。

1734 年, 欧拉引入现在的函数表示形式:fx。欧拉就把用算术运算、三角运算和指数对数运算联结变数x 和常数c而成的式子, 取名为解析函数,并将它分成为“代数函数”和“超越函数”两类。欧拉用“解析表达式”替代了约翰的“

任意形式”,明确地表述了变量之间相互依赖的变化关系。也不再强调函数一定要用公式来表示,但仍没有明确函数是某种对应关系,也没有提出函数可以不用解析式来表示.欧拉对函数的重要贡献是他考虑了用以表示被任意画出的曲线的函数,并把这种函数叫做“

随意函数”。这使得函数概念为适应积分的需要作出了新的推进。

柯西的函数定义; 对于x的每一个值, 如果y 有完全确定的值与之对应, 则y 就叫做x的函数。这样一来, 无论y 是用一个式子表示的, 还是用多个式子表示的, 甚至是否要通过式子表示都无关紧要了, 只要对x的每一个值, y 有完全确定的值与之对应, 则y 就是x的函数。不过当时柯西在所给函数定义中, 用多个式子表示函数情况是在区间上的函数, 或由等表示情况。

傅立叶的工作更根本地改变了函数的面貌,震惊了当时的数学界。他一方面认为有限区间上的函数未必仅有唯一的表达式,另一方面又认为函数必须用解析式来表达,这靠他发明的傅立叶级数理论来支持。他证明了任意以π

为周期的一个函数f(x)在[ -π,π] 可以由

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展开, 其中

后来人们又证明了不仅仅周期函数, 任一连续函数在(-π, π)上都可以用正弦或余弦函数给出。

从19 世纪70 年代开始, 康托尔发表了一系列文章, 系统地分析和刻画了实数的连续性及无穷集合的性质, 出现了连续统等问题的研究, 逐步形成并诞生了集合理论. 在康托尔开创了集合论理论后, 由于其对于数学的基础性, 成为现代数学描述的基础语言. 因此, 函数概念的定义再一次面临着新变化. 简单的结论: 现在函数的概念所包括的范围似乎是硕大无比了, 但是, 如果说这种扩展已经到顶了, 那就未免为时过早。事实上, 在本世纪四十年代, 由于物理学的需要, 发展了占函数, 它在一点处不为零, 而在R 上的积分等于1 , 原来的函数定义就包含不了这种占函数。于是又有索伯列夫、洛朗和许瓦兹引入了广义函数的概念, 把函数、测度以及占函数等概念统一起来了。这样, 在函数概念的内涵上再一次得到了扩展。

初中阶段函数的概念是：一般地，设某变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定的值x, 都有唯一确定的值y 与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量，当函数关系用等式来表示时，这个等式叫做函数解析式（或函数关系式）．这里指出函数关系就是变量之间的“对应”关系,同时也给出了自变量的变化范围，但未指明定义域。这里仍然说函数是相依变量Y,但函数的本质是对应关系。明确了函数是对应关系后,历史上一度纠缠不清的解析定义及几何定义就是现在函数的两种不同表示法:解析法与图象法。此外,还有列表法。

到了高中,通过代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性;通过数的概念的发展,使学生积累关于“集合”概念的初步思想; 通过数轴和坐标的教学, 渗透关于“对应”概念的初步思想等, 有了这些铺垫,学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时, 才能比较容易接受.函数是用映射定义的：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确实的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f（x）和它对眼，那么就称f：A→

B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作y=f（x），x∈

A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相应的y 的值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）│x∈A｝叫做函数的值域．简单地说，就是指一个关系作用于集合A 中的每一个数，使它与集合B 中的一个数相对应．“映射”是集合中的概念,其含义比“对应”更确切了,突出了方向性。

本科数学专业的函数概念给定两个实数集D、M, 若按照某一确定的对应法则f , D 内每一个数x 有唯一的一个数y ∈

M 与它相对应, 则称f 是确定在数集D 上的函数,记作f:D →

M,其中集D 称为函数的定义域, D 中的任意数x 根据法则f 所对应的y,记作f(x),称为f 在x 的函数值。

高等数学中的函数概念除了反映变量之间的依赖关系这一本质属性之外, 还具有种种其它属性. 函数概念与极限、连续、导数、微分、积分、级数及微分方程等等概念之间有着紧密的联系.对高等数学中出现的各种函数及相互间的结构联系进行归纳整理,可得到以下图

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图1 从图1可看出,基本初等函数是构成一切函数和级数的基础. 级数除了有可能收敛到初等函数和分段函数这两类常见函数外,还可能发散.这是有限叠加与无限叠加不同之处. 函数定义范围的拓展情况可以从表2中得到反映.对这一问题的深入探讨,牵涉到实变、复变函数、拓扑、微分几何等多个数学分支学科知识。

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