阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计和教学实录

《函数的概念》的教学设计

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》的第一章1.2.1函

数的概念。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。函数的学习也是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。

函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。本节的内容较多，分二课时。本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等）

【学情分析】

学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数

1,当x是有理数时

如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但f(x)0,当x是无理数时如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要。由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。教师应在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论。

【学法指导】

本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x)的学习，借助具体函数来理解符号y=f(x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。

【教学目标】

知识目标——

通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。

能力目标——

培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。

情感目标——

渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在

探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。

【教学重点】函数的概念及y=f(x)的理解与深化。

【教学难点】函数的概念及函数符号f(x)的理解。

【教学关键】在集合与对应的基础上理解函数的概念。

【教学方法】

以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的

启发式教学为主，变式教学为辅，及引导、探究、讲解、演练相结合。在教学过程中，多一点情境和归纳，多一点探索和发现，多一点思考和回顾。通过不同形式的自主学习、探究活动，丰富和改善教与学的方式，体验数学发现和创造的历程，发展创新意识和实践能力。

在课堂结构上，设计“创设情境——引入课题；引导探求——形成知识；变式训练——巩固知识；讨论研究——深化知识；总结反思——提高认识；任务后延——自主探究”这样几个主要环节，环环相扣，层层深入，以期达到教学目标。

设计思想

设计环节

一、

创设问题情境

，

引出课题

。

设计意图

以实际问题为背景，以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值。通过问题2这两个用已有概念不太容易回答的问题，引发学生的认知冲突，有着承上启下的作用。既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合语言来刻画函数的本质做好伏笔。

以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。在三个实例的教学中，重点在于引导学生体会函数概念中的对应关系。通过实例1，体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t和h的范围；通过实例2体会用图象刻画变量之间的对应关系，关注t和S的范围；通过实例3体会用表格刻画变量之间的对应关系。

师生活动

教师提出问题1：

我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影）

我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：

问题2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个2函数？函数y=x与函数yx表示同一个函数x吗？

学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书）

师：（实例1）演示动画，用《几何画板》动态地显示炮弹高度h关于炮弹发射时间t的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之相对应。

生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

师：（实例2）引导学生看图，并启发：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积S与之相对应。

生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量

二、

借助信息技术

，

讨论归纳

。

为了更好地使学生尝试用集合与对应的语言进行描述，可以利用信息技术设置教学情境。通过学生的观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式。让他们通过实践来进一步体验到在集合对应观下的函数内涵，也为学生应用信息技术解决数学问题提供了一种新的途径和方法。

三、

从特殊到一般

，

引出函数概念

。

从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验。这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。

注重双语，规范数学概念的理解。在涉及的每一个数学概念其后注明英语，有利于教师实施双语教学，也有利于教师和学生阅读外文数学材料，这也是体现新课标实验教材的创新之处。

函数y=f(x)是学生学习的难点，这是一个抽象的数学符号。教学时首先要强调符号“y=f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是数学符号，而不是表示“y等于f与x的乘积”。在有些问题中，对应关系f可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如图象、列表）来表示。所以教师应向学生明确指出，y=f(x)不一定就是解析式，函数的表示方式除了解析式外，还有其它表示方法，如实例2的图象法，实例3的列表法。

之间的依赖关系。

师生：（实例3）共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

问题3：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？

生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。

师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：

对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应，记作f:A→B 问题4：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上教师归纳总结）

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在数集B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.记作y=f(x)．x∈A．自变量x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．

在函数概念得出后，教师强调指出“y=f(x)”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号y=f(x)的含义，教师提出下一个问题：

问题5：y=f(x)一定就是函数的解析式吗？

师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。

补充练习：下列图象中不能作为函数yf(x)的图象的是（

）

yyyy

2222

oxxxxooo2222

（A）

（B）

（C）

（D）

启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：

1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；

2．函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即

为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应；值域CB；

3．函数符号y=f(x)的说明：

（1）“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；

（2）y=f(x)不一定能用解析式表示；

（3）f(x)与f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数；

（4）在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、φ(x)等符号来表示。

4．定义域是函数的重要组成部分，如f(x)=x(x∈R)与g(x)=x(x≥0)是不同的两个函数。

四、

借助熟悉函数平台

，

加深对函数概念的理解

。

设置问题6这个情境，目的是用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。

问题6：集合A（A=R）到集合B（B=R）的对应：f:A→B，使得集合B中的元素yaxb(a0)与集合A中的元素x对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数yk(k0)呢？函数xyax2bxc0(a0)呢？

教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：

函数

对应关系

定义域

值域

一次函数

反比例函数

二次函数

a0a0

问题7：函数的三要素是什么？

教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。

五、

再创情境

，

引导探究函数概念问题8利用学生思维的空白处设置问题，能引起学生探究的欲望，从而自然引出以形求数的思想。接着，通过“引导”，给学生解决后续问题的方法，即观察图象的方法。

问题9引导学生对问题2进行反思和总结，并将之一般问题8：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？

学生思考、讨论，教师点拨：

函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。

的新化，利用数学语言来表达，培认识

养学生反思问题、总结归纳的。

习惯和善于运用数学语言抽象所发现的结论的能力。

问题9：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思考问题2，谈谈自己的认识。

教师启发、引导学生画图，以形求数。

yyy

x2

222yyxy1x

oxxxoo

222

师生：y1(xR)是函数；

x2yx与y不是同一个函数。

x

六、

师生释疑

，

深入研究

。

问题10以学生已解决的问题出发创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生在构建自身基础上的“再创造”，并通过独立思考后的讨论，培养学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的能力。

设置问题11这个情境，是因为“区间概念”这段内容并不难理解，所以可以先让学生自已阅读，然后进行不等式、区间与数轴表示的互相转化，以此熟悉区间的概念。问题11此情境的设置是为学生提供了自主探究的平台，从阅读学习中发现问题、分析问题、解决问题，既符合了学生的心理特点，又注重了学生的思维过程。

问题10：如何判断两个函数是否相同？

引导学生对问题2进行抽象概括并归纳总结：

当两个函数的定义域、对应关系完全一致时，我们就称这两个函数相等。

问题11：研读课本，叙述区间的概念。请同学们在阅读后填写下表：

定义

{

x|axb}{

x|axb}{

x|axb}{

x|axb}名称

闭区间

开区间

半开半闭区间

符号

数轴表示

[

a,b](a,b)

ab

a,b)[

ab

{x|xa}

{x|xa}

{x|xb}{x|xb}

七、

举例应用

，

深化目标

。

例题是为了使学生更好地理解函数定义而设置的，既考虑了数学思维的严谨性，也体现了数学知识的应用性。

通过例1，使学生学会求简单函数的定义域，以此更好地突出重点。例1表明当对应法则确定后，对于定义域内的一个数，只要将它代入解析式，就可求出它所对应的函数教师指导学生自学，解决学生提出的问题，并指出说明：

（1）区间是集合；

（2）区间的左端点必小于右端点；

（3）无穷大是一个符号，不是一个数；

（4）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号。

例1．已知函数f(x)x31

x2（1）求函数f(x)的定义域；

（2）求f(3),f()的值；

（3）当a0时，求f(a),f(a1)的值。

让学生思考，并提问个别学生。

23师问：怎样求函数的定义域？

追问：f(x)与f(a)有何区别与联系？

点拨：f(a)表示当自变量xa时函数f(x)的值，

值，进一步体会函数记号的含义。

例2表明判定两个函数是否相同，不仅要看对应关系是否一样，还要看定义域是否相同。通过判断函数的相等使学生认识到函数的整体性，进一步加深学生对函数概念的理解。

例3的设置补充，其目的既是第22页练习3与习题3的伏笔，也是为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法，同时也后面研究函数的性质（奇函数）作准备。变式训练的设计以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展。通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养学生探究问题的能力，从而提升学生的思维品质。借助三个变式层层深入，是理论到实践的升华，使概念深化、强化、类化！f的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步掌握与应用能力也就自然形成了。

八、

利用课堂练习巩固所学练习

的知识内容、数学思想和方交流

法，以求达到教学目标。本环反馈

节以个别指导为主，体现面对巩固

全体学生的课改理念。

九、

关注学生学习的主动性，学生培养学生的合作意识，培养学归纳生表达交流数学的能力。自主小结

小结的形式将课堂还给学生，，

教师既是对一节课的简单回顾与也是对所学内容的再次评价

梳理，。

巩固。

作业分为三种形式，体现十、

作业的巩固性和发展性原则。课后阅读作业中的问题思考是后作业

续课堂的铺垫，而弹性作业不是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。

例2．下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y(x)2

（2）y（3）y23x3

x2x

（4）y

x33师问：判断函数相等的依据是什么？

变式：若改（2）为yt呢？

思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？

例3．已知函数f(x)2x(xR)

（1）画出函数f(x)的图象；

（2）求f(a),f(a),f(a)f(a)的值；

（3）你从（2）中发现了什么结论？

（4）求函数f(x)的值域。

教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：

变式1：已知f(x)2x(xR)

①

当0x2时，求函数的值域；

②

当x{2,1,0,1,2}时，求函数的值域。

变式2：已知f(x)2x(xR)

①

当函数值域为[2,4]时，求函数定义域；

②

当函数值域为{4,8,2}时，求函数定义域。

变式3：（1）已知f(x)2x(xR)

求f(a1),f(2x1)的值。

变式3：（2）已知f(a1)a1(aR)

求函数f(x). 课堂练习：

课本第22页练习1．2．3．

以学生回答、板演的形式进行，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。

以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结：

1．函数的近代定义与传统定义的异同点；

2．集合与函数的联系、区别；

3．函数的三要素；

4．数形结合的思想。

1．阅读作业：通读教材，复习巩固，并思考表示函数有哪些方法？从例3(2)中你能发现更一般性的结论吗？

2．书面作业：课本第28页习题1．2．3．4．5．

2

作统一要求，供学有余力的学生课后研究，它也是新课程标准里研究性学习的一部分。

3．弹性作业：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？请同学们举出几个具体函数例子，用传统定义不好解释，而用近代定义容易理解。

教学流程：

创设问题情境，借助信息技术，从特殊到一般，

引出问题

讨论归纳

引出函数概念

再创情境，引导探究函师生释疑，

借助熟悉函数的平台，数概念的新认识

深入研究

加深对函数概念理解

举例应用，练习、交流、学生归纳小课后作业

深化目标

反馈、巩固

结，教师评价

知识结构：

函数的概念

集合与函数的关系

函数的三要素

近代定义与传统定义

定义域

对应关系

值域

问题探讨：

本章教学内容的要求与现行高考的要求距离较远，而学生知识现状与课本要求较高之间的矛盾也较突出。学生原有的运算能力、分析问题的能力直接制约着本章的学习。这不仅与初中数学内容的衔接、学习方法有较大变化有关，而且与知识更新力度较大有关，使大部分学生不太适应本章的学***纲中提出能运用函数性质解决某些简单的实际问题，在本章中很难达到预期要求。用计算机绘制函数图象，收集数据并建立函数模型，但在信息技术与课程的整合上还有待加强。