阅读与思考 函数概念的发展历程名师课堂实录

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目的：（1）通过用”二分法”求方程的近似解,使学生体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成函数观点处理问题的意识；

（2）通过”二分法”的学习使学生初步接触算法的思想；

教学重点：用”二分法”求方程的近似解．

教学难点：”二分法”求方程的近似解的思想和步骤． 教学过程：

一、复习引入

①

零点的概念:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

②

连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

③

一元二次方程可以用公式求根,但没有公式来求Inx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求它的根呢？

二、新课教学

（一）用二分法求方程的近似解

1．用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解

想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值. 一般地,我们把

称为区间(a,b)的中点.

2．二分法概念

对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法

思考:

为什么由|a-b|< ε,便可判断零点的的似值为a(或b)?

区间

(2,3)

(2.5,3)

(2.5,2.75)

(2.5,2.625)

(2.5,2.5625)

(2.53125,2.2625)

中点的值

2.5

2.75

2.625

2.5625

2.53125

2.546875

中点函数近似值

-0.084

0.512

0.215

0.066

-0.009

0.029

0.010

0.001

(2.53125,2.546875)

2.5390625

(2.53125,2.5390625)

2.53515625

3、用二分法求方程的近似解的步骤

①、确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度ε

②、求区间(a,b)的中点x1

③、计算f(x1); (1)

若f(x1)=0,则x1就是函数的零点

(2)

若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) (3)

若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b)) ④、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4 （二）典型例题

x例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2+3x=7的近似解（精确到0.1）

xxx解：原方程即2+3x=7,令 f(x)=2+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数f(x)=2+3x-7 对应值表与图象（如下): x f(x)=2x+3x-7 0 -6 1 -2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 75 7 142

区间

(1,2)

(1,1.5)

(1.25,1.5)

(1.375,1.5)

(1.375,1.4375)

中点的值

1.5

1.25

1.375

1.4375

中点函数近似值

0.33

-0.87

-0.28

0.02

由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1 此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。

巩固练习：（教材P106练习1）

三、归纳小结，强化思想

二分法是求方程近似解的一种常用方法，它是利用方程的根与对应的函数零点的关系，将求解方程转化为求解函数的零点的近似解。

四、作业

复习二分法求解方程近似解的步骤