阅读与思考 函数概念的发展历程教案板书设计

导数专题

———“三次函数性质的探讨”教学设计

一、学情分析

三次函数是利用导数研究函数的一个重要内容，是应用二次函数图象和性质的好好途径。高二学生学完人教版必修及选修内容，本节课旨在通过探究三次函数性质探讨导数在研究函数中的应用，函数图象和性质、不等式、方程、导数等相关知识，完善学生的知识结构，体会其中蕴涵的数学思想方法，同时也有利于学生在数学学习中，体验再发现和再创造的过程，发展学生独立获取数学知识的能力，提高学生应用所学知识解决问题的能力。根据学生情况，采用从特殊到一般，从具体到抽象，由浅入深，逐层推进。

二、教学目标与重点难点

1）知识目标：能利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性、极值，进一步理解函数的单调性、极值，能利用图象来讨论三次方程实根的个数，体会分类讨论、数形结合、函数方程的数学思想。

2）能力目标：培养学生识图能力、探究能力和创新意识，提高运用所学知识解决问题的能力。

3）情感目标：让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，鼓励学生勇于探索、设法寻到解决问题的方案。

教学重点是讨论三次函数的单调性和极值及其应用，

难点是利用二次函数的性质求解有关单调性含参数的问题以及讨论相应三次方程实根的个数。

三、课型：复习课

四、教具：多媒体

五、教法与学法

教法：讲解法，演示法，启发式教学法

学法：观察、讨论、思考、分析、自主探索、合作学习

六、教学流程

（一）

复习回顾

判断函数的单调性导数在研究函数中的应用求函数的极大（小）值求函数的最大（小）值

（二）

进行新课

1．问题探究：

（1）三次函数概念

问题1：类比二次函数，请同学们自己对三次函数下定义。

形如yaxbxcxd(a0)的函数叫做三次函数。定义域：R；

问题2：要求三次项的系数不为0，那么三次项的系数a与函数值变化有什么关系？

3当a0时，让x无限增大，对函数值y起决定地位的是ax项，即x，y；同样地当x时，y，（让学生体会极限的思想方法）

32值域:R

下面我们从已搭建的研究函数的一般“平台”出发来探讨三次函数的图象和性质。

（2）三次函数的图象与性质

问题：三次函数f(x)axbxcxd(a0)的图象是什么形状呢？单调性呢？是否存在极值？它有哪些性质呢？

32

试在同一坐标系中画出下列函数与它的导函数图象。

（1）f(x)x3

（2）f(x)x312x

（在R上单调递增，不存在极值

（在,2,2,上单调递增，

在2,2

上单调递减，

在x2处取得极大值16，

在x2处取得极小值16）

y

Yy

O

O

x

（以上练习由同学们自己完成，然后交流，总结规律方法。旨在复习导数与函数单调性、极值等相关知识，x

引导学生从特殊的简单的情形出发，先从图象上直观感知三次函数的单调性、极值，并能结合导函数图象分析，为接下来得出一般性结论作铺垫）

1）图象

问题：函数yaxbxcxd(a0)的图象有哪些基本类型？

（通过学生自主探究，相互交流、讨论，并结合几何画板直观演示、验证，师生交流，共同完成以下结论）

yf(x)

yf(x)

yf'(x)

yf'(x)

32a0,0

a0,0

a0,0

2）单调性：

a0,0

问题：函数yaxbxcxd(a0)在R上恒单调吗？

要使函数yaxbxcxd(a0)在R上是单调函数，系数应满足什么条件？

要使函数

yaxbxcxd(a0)

在R上不是单调函数，那么它在R上一定有几个单调区间，系数又应满足什么条件？

（通过学生自主探究，相互交流、讨论，并结合几何画板直观演示、验证，师生交流，共同完成以下结论）

一般地，当b3ac0时，三次函数yaxbxcxd(a0)在R上是单调函数；

当b3ac0时，三次函数yaxbxcxd(a0)在R上有三个单调区间。

（根据a0,a0两种不同情况进行分类讨论）

3）极值：

问题：函数yaxbxcxd(a0)在R上是否存在极值？

要使函数yaxbxcxd(a0)在R上存在极值，系数应满足什么条件？它在R上一定有几个极

3232232232323232

值？

要使函数

yax3bx2cxd(a0)

在R上不存在极值，系数又应满足什么条件？

一般地，当b23ac0时，三次函数yax3bx2cxd(a0)在R上不存在极值；

当b23ac0时，三次函数yax3bx2cxd(a0)在R上存在极值，且必定一个是极大值，一个是极小值。

（根据a0,a0两种不同情况进行分类讨论）

2.拓展应用

例1

设f'(x)是函数f(x)的导函数，yf'(x)的图象如右图

所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（

）

.

解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则yf'(x)的图象给出了如下信息：

①a0；

②导函数方程两根是0，2

③在（0，2）上f'(x)0；在（－，0）或（2，）上f'(x)0。

由①和性质1可排除B、D；由③和性质1确定选C。

32例2已知函数f(x)axbxcx在点x0处取得极大值5，其导函数yf'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）x0的值；

（Ⅱ）a,b,c的值. 解：（Ⅰ）由图得

x

,1

1

1,2

2

(2,)

f'(x)



0

极大值



0

极小值



f(x)

则x0=1; abc5f(1)5'2（Ⅱ）f(x)3ax2bxc，依题意得f'(1)0即3a2bc0

f'(2)012a4bc0a2,b9,c12. 变式：已知函数y2x3ax12x，若函数的单调递减区间是1,2，则a的值是

.

32

分析：若函数的单调递减区间是1,2(1,2)xf(x)0

解：y6x26ax12，因为函数的单调递减区间是1,2(1,2)xf(x)0，

所以1,2是方程6x6ax120的两个实数根,由韦达定理，12a,a3

例3已知函数f(x)2x39x212x，若方程f(x)k有3个解，求实数k的取值范围．

解：fx6x218x126x1x2

令fx0，得x1或x2

当x变化时，fx、fx的变化情况如下表：

2x

fx

,1



单调递增↗

1

1,2

—

单调递减↘

2

2,



单调递增↗

0

5

0

4

fx

因此，当x1时，fx有极大值5

当x2时，fx有极小值4

函数f(x)2x39x212x的图象大致如图

由图可知：4k5

变式：已知函数f(x)2x39x212xa，试讨论方程f(x)0

根的情况.

解：由例3知当x1时，fx有极大值5a

当x2时，fx有极小值4a

函数f(x)2x39x212xa的图象大致如图

由图可知当4a0a5

即5a4时方程有3个不等实根

当a4,a5时方程有2个不等实根

当a4或a5时方程有1个实根

（三）课堂小结

（四）课外练习

七、课后反思与探讨