阅读与思考 函数概念的发展历程公开课教案

1.2.1函数的概念

【教学目标】

1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型

2、学习用集合语言刻画函数

3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。

4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

【教学重难点】

教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念

教学难点：函数的概念及符号y=f(x)的理解

【教学过程】

(一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

(二)、教学过程

一、情境引入：函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

通过多教材上三个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

二、合作交流

1．用集合语言刻画函数关键词语有哪些？

2．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式

注意：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

3．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B

1

的一个函数（function）．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．

注意：

（1）

“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

（2）

函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

（3）

函数是非空数集到非空数集的对应关系。

（4）“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）

4．区间的概念

区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

{x|axb}[a,b]

{x|axb}[a,b)

{x|axb}(a,b]

{x|axb}(a,b)

{x|xb}(,b]

{x|ax}[a,)

三、精讲精练

例1：求函数ｙ＝2x312x1的定义域。

x3≤ｘ＜２且ｘ≠2解：由条件知应满足２ｘ＋３≥０且２－ｘ＞０且ｘ≠０，解得－０，所以

定义域为［－3，０）∪（０，２）．

2［点评］题中既有分母又有根式，要保证两种形式同时有意义

变式训练一：求函数ｙ＝x2的定义域；

2x4解：由ｘ2－４≠０解得ｘ≠２且ｘ≠－２

∴定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２，ｘ∈Ｒ｝．

［点评］题中虽然分子分母有公因式，但是要保证原式有意义，不能约分后再求定义域；

例⒉求函数ｆ(ｘ)＝1，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值域．

x212

解：f(0)111111,f(1),f(2)．

02112122215

容易看出，这个函数当ｘ＝０时，函数值取得最大值１，当自变量ｘ的绝对值逐渐变大时，函

数值随着逐渐变小且逐渐趋向于０，但永远不会等于０．于是可知这个函数的值域为集合：

｛y|y1,xR｝＝（０，１］．

x21变式训练二：已知Ａ＝｛１，２，３，ｋ｝，Ｂ＝｛４，７，a4，a2＋３a｝，a∈Ｎ+，ｋ∈Ｎ+，ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１是从定义域Ａ到值域Ｂ上的一个函数，

求a，ｋ，Ａ，Ｂ．

解：由已知条件和函数的定义可知：

10＝a4

10＝a2＋３a

⑴

或

⑵

３ｋ＋１＝a2＋３a

３ｋ＋１＝a4

⑴显然无解，∵a∈Ｎ+，解⑵得：a＝２，ｋ＝５

∴Ａ=｛１，２，３，５｝，Ｂ=｛４，７，10，16｝．

点评：本题主要理解函数的定义，在求解参数时注意定义域的范围可以简化计算。

【板书设计】

一、

函数概念

1.

定义

2.

三要素

3.

二次函数值域

4.

区间

二、

典型例题

例1：

例2：

小结：

【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

1.2.1函数的概念导学案

课前预习学案

一、预习目标：了解函数的概念，并会计算一些简单函数的定义域。

二、预习内容：

⒈在一个变化的过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定了一个ｘ值，相应地_____________________________，那么我们称__________的函数，其中ｘ是_________，y是________．

⒉记集合A是一个______________，对A内_________x，按照确定的法则ｆ，都有_________________与它对应，则这种对应关系叫做____________________，记作_________________，其中ｘ叫做_______，数集Ａ叫做______________________________．

⒊如果自变量取值a，则由法则ｆ确定的值ｙ称为_________________________，记作________或______，所有函数值构成的集合_____________________，叫做_________________．

三．提出疑惑

3

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

（一）学习目标：

1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型

2、学习用集合语言刻画函数

3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。

4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

学习重难点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念

（二）合作探究：

1.用集合语言刻画函数关键词语有哪些？

2.明确函数的三要素：定义域、值域、解析式

（三）精讲精练

例1：求函数ｙ＝2x3解：

变式训练一：求函数ｙ＝解：

例⒉求函数ｆ(ｘ)＝疑惑内容

12x1的定义域。

xx2的定义域；

x241，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值域．

x21解：

变式训练二：已知Ａ＝｛１，２，３，ｋ｝，Ｂ＝｛４，７，a4，a2＋３a｝，a∈Ｎ

+，ｋ∈Ｎ+，ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１是从定义域Ａ到值域Ｂ上的一个函数，求a，ｋ，Ａ，Ｂ．

解：

课后练习与提高

一、选择题

⒈函数y(x1)0|x|x的定义域是（

）

Ａ．{x|0x1}

Ｃ．{x|x1或x1}

Ｂ．{x|x0}

Ｄ．{x|x1,x0}

⒉已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋１，其定义域为｛－１，０，１，２｝，则函数的值域为

4

（

）

Ａ．［０，３］

Ｂ．｛０，３｝

Ｃ．｛０，１，２，３｝

Ｄ．｛ｙ｜ｙ≥０｝

⒊已知ｆ(ｘ)＝ｘ2＋１，则ｆ［ｆ(－１)］的值等于（

）

Ａ．２

Ｂ．３

Ｃ．４

Ｄ．５

二、填空题

4.函数yx22x的定义域是_______________________ 5.已知ｆ(ｘ)＝２ｘ＋３，则ｆ(１)＝_________________，f(a)=______________, ｆ[ｆ(a)]＝______________________．

三、解答题

6. 用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为２ｘ，求此框架围成的面积ｙ与ｘ的函数关系式，并指出其定义域．

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