阅读与思考 函数概念的发展历程教学内容概述

【课题研究】 1、2、2、2分段函数

【授课教师】 孟老师

【知识巩固】

1.函数的定义：一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A,其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域；

2.对函数的理解：①函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应

f:AB这里 A, B 为非空的数集.②A：定义域，原象的集合；f(x)|xA：值域，象的集合,其中f(x)|xA



B ；f：对应法则

，

xA ，

yB③函数符号：yf(x)

y是

x

的函数，简记

f(x)④例：f(x)=x2+3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1在yf(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样2f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象” 3f(x)与f(a)是不同的，前者为变数，后者为常数

3.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.[来源:学科网]

4.注意：i：自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围；ii：函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等. 5.请你总结一下我们学习过的函数的定义域和值域. 结论：①一次函数f(x)axb(a0):定义域R, 值域R;②反比例函f(x)=k/x(k0):定义域x|x0, 值域x|x0;③二次函数f(x)ax2bxc(a0):定义域R值域：当a0时，y|y(4acb定义

2)/4a；当a0时，y|y(4acb2)/4a

6.你能理解区间的含义吗？给你一个取值范围，你能马上写出它的区间形式吗？我们以后的学习过程中，写值域和定义域，都是用区间形式的，

名称

闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间

符号

［a,b］

(a,b) ［a,b) (a,b］

［a,+∞)

(a, +∞)

(-∞,a］

(-∞,a)

(-∞,+∞)

数轴表示

[来源:学&科&网Z&X&X&K]{x|a≤x≤b}

{x|a

{x|a

{x|x≥a}

{x|x>a} {x|x≤a}

{x|x

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

7.函数相等：

如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等. 8. 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表22达式叫做函数的解析式，例如，s=60t，A=r，S=2rl,y=ax+bx+c(a0),y=x2(x2)2等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. 9.图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法；例如，

气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 10.列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法；它们的特点是：解析法更容易研究变量之间的关系，而图像法则更直观的能看出图像的走势，列表法能很快的看出对应值；例如，学生的身高 单位：厘米

学号

身高

1 125 2 135 3 140 4 156 5 138 6 172 7 167 8 158 9 169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表等等.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 一、【学习目标】

1、会画分段函数的图象；

2、会求分段函数的解析式；能解决分段函数在实际生活中的应用问题. 二、【自学内容和要求及自学过程】

自学页例5、例6，回答问题（分段函数）

能够理解分段函数是一个函数，而不是几个函数

<1>例5和例6是一类简单的应用题，同学们，你在自学的时候理解题目所表达的含义了么？

<2>通过自学，你能给出分段函数的大致上的定义吗？分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域是怎么规定的？这些问题你能一一的理解吗？

结论：<2>分段函数是在定义域的不同部分，其解析式不同；分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 引申：你能给出几个分段函数的例子吗？

三、【练习与巩固】

1.自学教材例5，完成练习1[来源:学.科.网]

要能熟练的画出函数的图像

练习1.<1>请你在练习本上认真的画出y=|x|的函数图像；

x0,x4,2 <2>已知函数y=x2x,0x4,(1)求f{f［f(5)］}x2,x4.(2)画出函数的图象；

2.自学教材例6，完成练习2 的值；（答案：-1）练习2.<1>请你在练习本上认真的画出例6的函数图像； <2>某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价；则客运票价y(元)与行程千米数x(千米)之间的函数关系式是________<3>教材对应练习2，3. 四、【作业】

1、必做题：国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0

解：这个函数的定义域集合是0x100，函数的解析式为

80,x(0,20],160,x(20,40],y240,x(40,60],

320,x(60,80],400,x(80,100].

y4003202401608020406080100x这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数

2、选做题：<1>作函数y=|x-2|(x＋1)的图像

分析:显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．

解：<1>当x≥2时，即x-2≥0时，

19y(x2)(x1)x2x2(x)2

24当x＜2时，即x-2＜0时，

19y(x2)(x1)x2x2(x)2. 2419x2x24∴y

219x2x24这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图<2>作出函数y|x2x3|的函数图像

228642-10-5510-2-4-6象作出

65432x2x3解：y2(x2x3)22x2x30

2x2x3021-6-4-22468-1-2-3步骤：（1）作出函数y=x2x3的图象（2）将五、【小结】

-4上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|x22x3|的图象

这节课学习了一类新的函数，单调函数.其中的重点是让学生理解单调函数不是几个函数而是一个函数，其定义域是几段的并集，其值域也是几段的并集.另外，这一节课要求学生对图像的训练也是比较高的，所以加强作图能力的训练，也是本节课的一个重点. 六、【备注例题】

例题：作出分段函数yx1x2的图像

解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：

yx

x2(2x1)3

2x1

yx1x2=2x1x1