阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计思路

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大（小）值（一）

教学目标分析：

知识目标：

（1）结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；

（2）能利用函数图象理解和研究函数的单调性；

（3）能利用定义判定一些简单函数的单调性。

过程与方法：借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。

情感目标：渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。

重难点分析：

重点：函数单调性的概念。

难点：熟练运用定义判断、证明函数的单调性。

互动探究：

一、课堂探究：

1、情境引入

2请同学们画出一次函数f(x)x和二次函数f(x)x的图像。（几何画板）

探究一、以上两个图像有什么特征？（引导学生从左到右观察图像的变化趋势）——“上升”、“下降”

上升：随着x的增大，相应的f(x)也增大；下降：随着x的增大，相应的f(x)减小。

探究二、从上面的观察分析，能得出什么结论？

学生回答后老师归纳：从上面的观察分析可以看出，不同的函数，其图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。函数图像的这种变化规律就是函数性质的反映。这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性

2探究三、yx的图像在y轴右侧是上升的，如何用数学语言描述“随着x的增大，相应的f(x)也增大”？

请学生完成yx的对应值表，并引导学生观察表格中，自变量x的值从0到5变化时，函数2

值y如何变化

x

……

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ……

f(x)x2

……

16 9 4 1 0 1 4 9 16 ……

22探究四、在(0,)上，任意改变x1,x2的值，当x1x2时，都有x1x2吗?由此你能得出什么结论？

教师引导指出：函数yx2在(0,)上图像时上升的，用函数解析式来描述就是：对于(0,)22上的任意x1,x2，当x1x2时，都有x1具有这种性质的函x2.即函数值随着自变量的增大而增大。数叫增函数。

探究五、对于一般的函数yf(x)，我们应当如何给增函数下定义呢？

2、增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。

从函数图像上可以看出，yx2的图像在y轴左侧是下降的。类比增函数的定义，你能概括出什么结论？

3、减函数：如果对于定义域I内某个区间上D的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。

探究六、你能分析一下增（减）函数定义的要点吗？

注意： （1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，分别是增函数和减函数；

（3）增减函数定义等价形式：

增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，都有那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。

减函数：如果对于定义域I内某个区间上D的任意两个自变量的值x1,x2，都有那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。

f(x1)f(x2)0，x1x2f(x1)f(x2)0，x1x24、函数的单调性的定义：如果函数yf(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间。

思考：①

定义在(a,b)上的函数f(x)，若存在x1,x2(a,b)，使得x1x2时有 f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a,b)上为增函数，对吗？

②

定义在(a,b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1,x2(a,b)，使得x1x2时有 f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a,b)上为增函数，对吗？

③

若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在AB上也为减函数吗？

5、基本初等函数的单调性

（1）一次函数f(x)axb(a0)：

当a0时，在(,)上是增函数；

当a0时，在(,)上是减函数。

（2）反比例函数f(x)y y o x o x k(k0)：

x当k0时，在(,0)和(0,)上是减函数；

当k0时，在(,0)和(0,)上是增函数。

221.51.5110.50.53211233211230.50.5111.51.52 2

问题：反比例函数是单调函数吗？

（3）二次函数f(x)ax2bxc(a0)：

bb,)上是增函数，在(,]上是减函数；

2a2abb,)上是减函数，在(,]上是增函数；

当a0时，在[2a2a当a0时，在[66442215105510151510551015224466881010

6、复合函数的单调性

（1）如果函数f(x)是增函数，函数g(x)是增函数，那么复合函数yf[g(x)]是增函数，函数f(x)g(x)是增函数，函数f(x)g(x)的单调性不能确定；

（2）如果函数f(x)是减函数，函数g(x)是减函数，那么复合函数yf[g(x)]是增函数，函数f(x)g(x)是减函数，函数f(x)g(x)的单调性不能确定；

（3）如果函数f(x)是增函数，函数g(x)是减函数，那么复合函数yf[g(x)]是减函数，函数f(x)g(x)是增函数，函数f(x)g(x)的单调性不能确定；

（4）如果函数f(x)是减函数，函数g(x)是增函数，那么复合函数yf[g(x)]是减函数，函数f(x)g(x)是减函数，函数f(x)g(x)的单调性不能确定；

（5）当m0时，函数f(x)与函数mf(x)n(m,n为常数)具有相同的单调性；当m0时，函数f(x)与函数mf(x)n(m,n为常数)具有相反的单调性；

（6）若f(x)0，则函数f(x)与函数1具有相反的单调性.

f(x)

例1、如图是定义在区间[5,5]上的函数yf(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2、物理学中的玻意耳定律Pk（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减V小时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

变式：证明函数f(x)xb(bR)在区间(,)上是增函数

知识链接：立方差ab(ab)(aabb)，立方和ab(ab)(aabb)；

差立方(ab)a3ab3abb，和立方(ab)a3ab3abb；

注意：用定义证明函数的单调性的一般步骤：

（1）取值：设x1,x2是给定区间上任意的两个值，且x1x2

（2）作差：f(x1)f(x2)；

（3）变形：通分、因式分解、配方、有理化等；

（4）定号：确定f(x1)f(x2)的符号；

3322333223332233223

（5）判断：当f(x1)f(x2)时，f(x)是增函数；当f(x1)f(x2)时，f(x)是减函数。

例3、求下列函数的单调区间：（1）f(x)x22x；（2）f(x)|x|.

二、

课堂练习： 教材第32页练习第1、2、3、4题

反思总结： 1、

本节课你学到了哪些知识点？

2、

本节课你学到了哪些思想方法？

3、

本节课有哪些注意事项？

课外作业：

（一）教材第39页习题1.3A组第1、2、3题 1、画出下列函数的图像，并根据图像说出函数yf(x)的单调区间，以及在各单调区间上函数yf(x)是增函数还是减函数。

(1)yx25x6; (2)y9x2

2、证明：

（1）函数f(x)x1在(,0)上是减函数；

2

（2）函数f(x)1

1在(,0)上是增函数；

x3、探究一次函数ymxb(xR)的单调性，并证明你的结论.

（二）补充

4、

已知f(x)(3a1)xb在(,)上为增函数，则a的取值范围是（

）。

A

(,)

B

(,)

C

(,]

D

[,)

5、已知f(x)为R上的减函数，则满足f()f(1)的实数x的取值范围是（

）。

A

(1,1)

B

(0,1)

C

(1,0)131313131x(0,1)

D

(,1)(1,)

ax2x1,x26、已知函数f(x)在区间(,)上是减函数，求实数a的取值范围.

ax1,x2

答案：a1. 7、思考题：定义在1,1上的函数f(x)是减函数，且满足：f(1a)f(a)，求实数a的取值范围。

课后反思：