阅读与思考 函数概念的发展历程教案3

【课题】

3.1 函数的概念

【教学目标】

知识目标：

(1)

通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；

(2) 理解函数的概念及其构成要素；

(3)

理解函数值的概念及表示. 能力目标：

(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；

(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力.

【教学重点】

体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念. 【教学难点】

函数的概念及记号yf(x)的理解. 【教学过程】

*复习旧知，为新课铺垫

问题

世界充满变化，函数无处不在，今天我们又开始接触函数了，你们还记得初中学习过哪些函数吗？函数的定义又是什么？

归纳

一次函数、反比例函数及二次函数；定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其相对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. *创设情景

兴趣导入

我们在了解初中函数的概念之后，下面一起来看三个实例，分析其中的变量，说明它们之间能否构成函数关系？

（1）某水库的存水量Q与水深h（指最深处的水深）如下表：

水深h（米）

0 5 20 0

通过对初中学过的函数模型的回忆，帮助学生回忆函数的“变量说”；此外注意变量与选取字母无关.

10 40 15 90 20 25 存水量Q（万立方）

0 160 275 （2）设时间为t，温度为T(C)，自动测温仪测得杭州10月21日从凌晨0点到白天14点的温度曲线如下图：

1

通过观察三个实例，使学生进一步认识函数的实质：对一个变量的每一个取

（3）今年中国海军在东海进行实弹演习，通过数据监测，一枚炮弹发射后，炮弹距地面的高度h（单位m）随时间t（单位s）变化的规律是h130t5t. 归纳

判断两个变量的对应关系能否构成函数的标准是“对一个变量的每一个取值，另一个变量都有唯一的值与之对应”，而表现这种“对应”的数学形式，除了大家熟悉的函数解析式外，还可以有列表法、图像法. 问题

在（3）中，请大家计算，当t30s时，所对应的h值是多少？h600m，而经过计算，得到炮弹从发射到落到海面爆炸只经历26s.

2值，另一个变量都有唯一的值与之对应.

从实例发现已有的函数定义没有明确指出自变量的取值范围，从而催生更严密的函数定义. 归纳

由此看来，初中的函数定义，只强调了两个变量x和y的对应关系，而没有明确给出自变量x的取值范围，所以我们说这个定义是不够严密的，事实上，例（3）中的变量时间t的取值范围是[0，26]，例1、2中自变量也有取值范围，因此我们把初中函数的概念稍加修饰. *动脑思考

探索新知

D

对应法则fy

x

概念

在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数．

2

表示

将上述函数记作yfx,xD，其中数集D叫做函数的定义域．

当xx0时，在对应法则f的作用下，相对应的值y0叫做函数yfx在点x0处的函数值．记作y0fx0.

充分讲解函数变量和法则之间的关系.

函数值的集合y|yfx,xD叫做函数的值域．

实际上当去掉集合的外衣后，可发现两个概念的本质是一样的；高

中函数概念明确了自变量x的取值范围是数集D，明确了对应法则f，

把yfx就叫做函数. 通过对例题*函数概念的初步应用

例1 五名同学的数学竞赛的成绩如下：

序号

成绩

1 92 2 70 3 80 4 85 5 71 的辨析，加深学生对高中函数概念的理解，培养学生运用概念思考问题的能力，特别是运用图像来观察数集之间的对应关系，对学生来说，更是全新的问题，但xOA（1）成绩能够看成序号的函数吗？

（2）若序号5对应的同学缺考，没有分数，并且我们在成绩单上也没有记录，还能看成函数吗？

例2 下列图形中可以作为函数f(x)的图像的是（

）

yyyyxOBxOOxDC这是数形结合基

础，应该培养这方面能力.

辨析回味概念

1、请大家提炼下概念中的关键词有哪些？

定义域D，对应法则f，值域，而定义域D和对应法则f确定后，

值域也就被确定了，所以确定函数只需确定定义域D和对应法则f，此

处定义域D、对应法则f和值域叫做函数的三要素. 2、用函数的其中两要素重新解释初中学过的函数. 函数

一次函数y2x1

反比例函数y

鉴于函数定1

x义的重要和理解的困难，本环节分二个步骤来辨析新概念，促进学生理解新概念.

定义域D

对应法则f

R

(,0)(0,)

1

2()1

3

*例题演示

例3 已知函数f(x)

11，求f(2),f(0),f()和函数的定义域. 3x12例3是求函数值和定义域，这些都是基础而11解：f(2)，f(0)1，f()1. 72

为使分式11需要掌握的. 有意义，必须3x10，即x，所以原函数的3x131(,). 311定义域为x|x，即(,)33

*归纳小结

强化思想

1、本节课主要是函数的概念及其三要素，毫无疑问，函数是中学数学最重要的概念之一，由于其重要性和难理解，因此对函数的概念再怎么强调都不过份. 2、辨析概念的三个步骤及图形理解都是精华，对函数的理解非一日之功，需要学生课后及将来学习中去慢慢体会. *继续探索

活动探究

(1)举出生活中两个函数的例子，并用函数的概念进行描述，并且写出它们的定义域、对应法则和值域. (2)思考f(x)1(xR)是函数吗？若是，写出它的定义域、对应法则和值域；若不是，请说明理由. (3)课后作业：习题3.1 A组第1、2、3题. 不难发现，用本节课所学函数概念来解释更方便.

通过此例，

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