阅读与思考 函数概念的发展历程优质教案设计

01

二次函数

杨立公

【内容概述】

二次函数是初等函数之一，它即简单有具有丰富的内涵和外延。以它为素材可以研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，也可以建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；二次函数的图像是抛物线，通过它可以联系其它平面曲线讨论互相之间关系。从函数的形式来讲，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变量，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。因此对二次函数的考查成为高考的一大热点。在历年数学高考中，它在大题、小题中均有出现，还常常以代数证明题的形式出现在压轴题的位置上。

研究二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征。从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，以此考查推理、论证能力；从图像特征出发，可以实现数与形的结合，这是中学数学一种重要的思想方法。

【例题精选】

例1．已知二次函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)0，则f(m1)的值为（

）

A．正数

B．负数

C．零

D．符号和a有关

例2．设二次函数f(x)x2bxc(b,cR)已知不论，为何实数,恒有

f(sin)0,f(2cos)0．

（1）求证：bc1；

（2）求证：c3；

（3）函数f(sin)的最大值为8，求b,c的值．

2例3．已知y12a2ax2x(1x1)的最小值为f(a)．

(1)求f(a)的表达式；

(2)当a[2,0]时,求Qlog1f(a)的值域．

3

高一讲义

01-1

例4．已知奇函数f(x)定义域为R,f(x)在[0,)上是增函数，是否存在实数m，使求出实数m的范围，f(cos23)f(4m2mcos)f(0)对所有[0,]都成立？若存在，2不存在，说明理由．

例5．已知f(x)的取值范围．

例6．所示直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），沿抛物线yax2c(a0)运动，D＝（6，7）为x轴上得给定区间．

（1）如果物体落在D内，求证：491312b2xax2bxc在（0，1）内取得极大值，在（1，2）内取得极小值求32a1936；

a（2）若物体运动时又经过点P（2，8.1），问物体能否落在D内？说明理由．

例7．已知二次函数f(x)满足f(0)1，及f(x1)f(x)2x．

（1）求f(x)的解析式．

（2）求f(x)在区间[-1,1]上的最大和最小值．

高一讲义

01-2

例8．已知二次函数f(x)在xt处取得最大值，且f(1)2．g(x)是一次函数且f(x)+g(x)

x22x3．

(1)求f(x)的解析式；

（2）若x[1,2]时，f(x)1恒成立，求实数t的取值范围．

【巩固练习】

1．f(x)ax2bxc（b,c为常数），且f(1)f(3)，则（

）

A．f(1)cf(1)

B．f(1)cf(1)

C．cf(1)f(1)

D．cf(1)f(1)

2．当1x3时，二次函数f(x)2x26xc的值域为（

）

A．[f(1),f(3)]

B．[f(1),f(3)]

2C．[f(3),f(3)]

D．

[f(0),f(3)]

23．已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)和一次函数g(x)kxm，则“f(bb)g()”是“这两个函数的图像又两个不同交点”的（

）

2a2aA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要条件

4．已知函数f(x)mx(m3)x1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（

）

A．(0,1]

B．

(0,1)

C．

(,1)

D．

(,1]

5．若a,b,c, 成等比数列，则函数yaxbxc的图像与x轴的公共点的个数是

．

高一讲义

01-3 22

6．已知函数yaxb的值域为[1,4]，则a＝

，b=

．

x21b＝

．

a7．已知二次函数f(x)ax2bxc，若函数yf(x1)是偶函数，则8．若对任意x(0,1)，恒有2x2(a1)xa(1)0，则a的取值范围是

．

9．已知函数f(x)x2bxc(b,cR,c2)，F(x)f(x)c，当x[2,2]时恒有f(x)0，且对于任意实数x1,x2，总有F(x1x2)F(x1x2)2[F(x1)F(x2)]，求f(x)的解析式．

10．函数f(x)

11．已知a,b,cR,f(x)ax小值为

212xx的定义于为[m,n]，值域为[3m,3n]，求mn的值．

2bxc，且ac0，f(x)在[1,1]上的最大值为2，最b5．证明：a0且||2．

a201

二次函数

嘉兴一中 杨立公

222例1．法一：a0,f(m)mma0,可知mm0,1m0

又(m1)m

1af(m1)(m2)(m1)2aa0,所以选A

法二：11f(m)0,(m)2a0,14a0设x2xa0两根x1,x2,且24x1x2

f(m)0,x1mx2又|x2x1|(x2x1)24x1x214a1m

高一讲义

01-4

1x11x1(x2x1)x2f(x)(xx1)(xx2),m1x2x1f(m1)(m1x1)(m1x2)0

1sina1且f(sina)0恒成立,f(1)0,又12cos3且例2．解：(1)－f(2cos)0恒成立f(1)0,f(1)0,1bc0

(2)由

f(2cos)0,知f(3)0,93bc0,又bc1,c3

1c21c22)c(),当sina1时(3) 因为f(sina)sian(c1)asinc(sina22[f(sina)]max8,即22c8,得c3,b4

a2a22a1(1x1) 例3．

(1) 有题意y2(x)22aaaaa22a1；3) 1，ymin

1)1,yminf(1)3；2) 11,yminf()22222f(1)34a

1a2(2)a[2,0]时, Qlog1f(a)log1(2a1)设u(a2)23,则1u3,此时2233,所以Q的值域为[1,0]

Qlog1u[1,0]3例4．解：由题意知，f(0)0，且f(x)是R的增函数，f(cos23)f(2mcos4m)，m，即cos2mcos2m20从而cos232mcos4，设tcos，问题转化为m1时，g(0)2m20m1,m0不2mmm201g()m2符；当时，，2解0得224m4－22m422,4－22m2；当1时，g(1)m10，解得m1,m2

2综上m422

2'2例5．f(x)xax2bxax2b0的一根>0且<1,另一根>1且<2.

g(t)t2mt2m2在[0,1]上的值恒正，当2b042a2b0

1a2b0不等式表示的平面区域如图，其中A(2,1),B(1,0),D(1,2)，设b2为直线CD的斜率由图知，a11b21

kBDkCDkAD，故4a12例6．解：(1)由点A(0,9)，得c9, yax9．令y0，

C(a,b)为可行域内一点，99，若落在D内，则6x7，67

aa94936

a得x2

高一讲义

01-5

9适合（1）中a的范围，故物体落在D内．

40例7．已知二次函数f(x)满足f(0)1，及f(x1)f(x)2x

（1）求f(x)的解析式．（2）求f(x)在区间[1,1]上的最大和最小值

解：设f(x)ax2bxc，由f(0)1可知c1f(x1)f(x)[a(x1)2b(x

(2)若又经过P(2,8.1)则8.14a9,解得a1)c](ax2bxc)2axab2x2a2,ab0，因而a1,b1f(x)

1311x2x1（2）f(x)x2x1(x)2，由于[1,1]故当x时，f(x)的最小值24223是，f(1)3,f(1)1x1时，f(x)的最大值是f(1)3

42例8．解：（1）由题意，设f(x)a(xt)2m.g(x)是一次函数，f(x)g(x)x2x3

a1又f(1)2则2(1t)2m，即mt22t1f(x)(xt)2t22t1．

（2）f(x)(xt)2t22t1,x[1,2]1）当t1时，f(x)minf(1)4t2

31，得t(舍去）；2）当－1t2时f(x)minf(1)4t21，得1－3

4t13,13t23）当t2时，f(x)minf(2）＝－2t51，得t3

2t3．综上，t[13,3]．

巩固练习答案：

1．B

2．C

3．

A

4．D

5．0

6．4；3

7．-2

8．(,1]9．f(x)x2

10．mn4

2(3,)

高一讲义

01-6