阅读与思考 函数概念的发展历程优质教案设计

关于《函数的单调性》说课稿

教材：普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）

必修一“1.3.1单调性与最大（小）值”第一课时

下面，我将分别从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本课进行说明。

一、背景分析

1、学习任务分析

本节课主要学习函数的单调性的概念及其初步应用。其中，函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念。函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，为进一步探索、研究函数的其他性质如奇偶性、周期性提供了方法和依据。

本节课中，学生将按照“直观感知——文字描述——严格定义”的认知过程展开函数单调性概念的学习，学生将在问题的带动下，进行更主动的思维活动，经历从从直观到抽象，从特殊到一般的思维过程，体会数形结合、归纳、类比、抽象概括等数学思想方法在解决问题中的作用。

根据《课程标准》，我将本节课的教学重点确立为：增（减）函数的形式化定义的形成。突出方法：充分运用信息技术手段，多给学生操作与思考的空间。

2、学生情况分析

学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象，对增减性有了一个初步的感性认识，这为学生学习函数的单调性做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但是本节课要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难。其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。因而我将本节课的教学难点确立为：1、增（减）函数的形式化定义的形成。突破方法：充分运用信息技术手段，多给学生操作与思考的空间。2、用定义证明函数的单调性。突破方法：帮助学生建立证明函数单调性的基本步骤，同时对函数共 9 页 第 1 页

的复杂程度加以控制。

二、教学目标设计

《课程标准》指出本节课的学习目标是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；学会运用函数图像理解和研究函数的单调性。

结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：

（1）使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

（2）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象概括的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 （3）让学生亲身经历数学概念的发生与发展过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

三、课堂结构设计

本节课是一节概念教学课，依照数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课知识的特点，我按以下过程安排本节课的教学。

创设情境，引入课题

（约需2分钟）

归纳探究，形成概念

直观感知概念

文字描述概念

严格定义概念

借助图象，掌握证法

（约需20分钟）

自我尝试，运用概念，自我尝试，运用概念

（约需10分钟） 辨析讨论，深化概念

判断正误，加深理解

（约需4分钟）

总结反思，提高认识

（约需3分钟）

布置作业，自主探究

（约需1分钟）

共 9 页 第 2 页

四、教学媒体设计

1、多媒体辅助教学：

本堂课容量大，因此充分使用信息技术创设教学情境，让学生有更多的时间用于思考、探究函数的单调性。

2、学生自备学具：

课前要求每个学生准备一个计算器，以便处理分析数据。

3、设计科学合理的板书

为使学生对本节课学习的内容有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书。

如：

五、教学过程设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为以下五个阶段：创设情境，引入课题；归纳探究，形成概念；自我尝试，运用概念；辨析讨论，深化概念；总结反思，提高认识。具体过程如下：

（一）创设情境，引入课题

概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了一定的感性认识后，才能激发学习兴趣进而主动探究。因此设置以下引例：

[问题情境]（播放中央电视台天气预报的音乐）。如图为银川市某一天24小时内气温变化图，观察这张气温变化图：

引导学生观察图象的升降变化，并提出

问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

[设计意图]启发学生由图象获取函数单调性的直观认识，从而引入新课。

例举生活中我们关心的很多数据变化（如燃油价格，股市走势等），引导学生归纳：这些数据的变化，用函数观点看，其实就是先找出函数取得最大（小）值时的界点，在定共 9 页 第 3 页

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（一）

1、增函数的概念： 例1 练习1

2、减函数的概念： 例2

义域的某个子区间内随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。

（二）归纳探索，形成概念

在本阶段的教学中，为了使学生充分感受数学概念的发生与发展过程和数形结合的数学思想，经历观察、归纳、抽象的探究过程，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了三个环节,引导学生分别完成对单调性定义的三次认识。

1、借助图象，直观感知

本环节的教学主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识。

在本环节的教学中，我主要设计以下两个问题：

问题2：请说出函数yx的图象的变化趋势。

问题3：你能描述一下函数yx2的图象的升降规律吗？

[设计意图]针对这两个问题，使学生体会不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。

函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，自然引出课题——函数的单调性。

2、探究规律，理性认识

对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念，因此，在本环节中，我设计了

问题4：结合图表，进一步认识“yx2的图象在y轴右侧是上升的”，并用自然语言来描述这种特征。

通过对问题的研究、交流、讨论，将函数的单调性研究从图形语言表述过渡到用自然语言表述，使学生对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度，从而使学生完成对概念的第二次认识。

学生可能会出现“卡壳”现象，可安排以下活动提供必要的帮助和指导

活动一：如图，指导学生完成yx2的对应值表，并引导学生观察表格中，自变量x的值从0到4变化时，函数值y如何变化。

x

…

-4 16 -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 …

…

f(x)x2

…

共 9 页 第 4 页

活动二：利用几何画板画出yx2的图象，在y轴右侧的函数图象上任找一点M并测出其坐标，当点M在函数图象上按横坐标（即自变量）x增大的方向移动时，引导学生观察点M的纵坐标（即函数值）y的变化规律。

yMx = 1.37Oxy = 1.88

学生总结规律后，给出增（减）函数的自然语言描述：在区间D上，若随着自变量x的增大，函数值y也增大，则称函数在区间D上是增函数, 区间D是该函数的增区间；在区间D上，若随着自变量x的增大，函数值y减小，则称函数在区间D上是减函数，区间D就是该函数的减区间。

[设计意图]以上两个活动，让学生通过体验并获得在一个区间内自变量x增大时函数值y增大（减小）这一变化规律后，再给出增（减）函数的自然语言表述，才会使学生觉得自然，并且印象深刻。这样也就完成了学生对单调性定义的第二次认识。

3、抽象思维，形成概念

本环节是在前面研究的基础上，再引导学生运用数学符号语言将自然语言的描述提升到形式化的定义。使学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第三次认识，提出

问题5：请将问题4中的自然语言翻译成数学符号语言即如何从解析式的角度说明f(x)x2在[0,)上为增函数？

[设计意图]问题5是形成单调性概念的关键，在教学中，我组织学生操作确认、合作探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈，评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识。

“课标”指出，在数学课程设计与实施中，要充分使用计算器和计算机等现代化教学手段，促进学生积极参与数学活动，同时为了更好地完成问题5这个任务，安排如下活动：

活动三：请全班每位同学在[0,)上任意取两个不同的值x1,x2，当x1

共 9 页 第 5 页

让学生结合函数单调性的自然语言描述，表述自己发现的规律；期望学生或引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”。得出结论：单调区间内，任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大；最后引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，

问题6：类比单调增函数的定义，你能给出单调减函数的定义吗？

指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调,最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．

（三）自我尝试，运用概念

例1（1）你能找出气温图中的单调区间吗？

（2）请说出以下三个你学过的函数的单调区间．

yyOxOxf(x)=x2+2x-1f(x)1xf(x)=-2x+2

的单调区间时写成并集．

及时纠正学生可能出现的错误，如：在叙述函数[设计意图]例1（1）与教材中的例1本质相同，但我认为它更贴近生活，更能激发学生的学习兴趣。（2）在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．

已知函数的图象，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．根据解析式，我们怎样去判定函数的单调性呢？设计

例2 证明f(x)2x在区间(0,)上是单调减函数．

证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤。

1、难点突破

2f(x)x对于函数单调性的证明，由于前边有对函数在[0,)上为增函数的研究作铺共 9 页 第 6 页

垫, 大部分学生能完成取值，因此学生的难点主要是：1、不知如何比较小。2、f(x1)与f(x2)f(x1)与f(x2)的大求差后的变形方向以及变形的程度，问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔；另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论。

针对这两个问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾初中学过的比较两个实数的大小的方法（若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b；若a-b=0，则a=b），使学生明确此时可以通过求差值的正负，转化为比较两个函数值的大小，进而明确变形的主要思路是因式分解或配方法，这样才可以判断符号。

2、详细板书

在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯。

证明：任取x1,x2(0,)且x1x2 设元（注意单调区间）

f(x1)f(x2)22x1x2 求差

2(x2x1)x1x2， 变形（因式分解或配方法）

0， 断号

由x1,x2(0,)，得x1x2又由x1x2，得x2x10，

于是f(x)f(x12)0，即

f(x1)f(x2)，

2所以

函数f(x)x

在(0,)上是减函数 定论

3、归纳步骤

在板书的基础上，我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤(设元,求差,变形,断号,定论)，通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，对于第一步，提醒学生注意题目中给定的单调区间，特别是第三步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力。

（四）辨析讨论，深化概念

如果学生在前面的环节中学习效果不错，则安排以下任务，反之或时间不够则留到下节课进行，本题可做机动处理。

共 9 页 第 7 页

判断正误：

①因为函数函数. ②已知函数f(x)1因为xf(x)1xf(x)x在(,0)(0,)上是减在(,0)和(0,)上都是减函数，所以1f(1)f(2)，所以函数是增函数

③若函数f(x)满足f(2)f(3),则函数f(x)在[2,3]上为增函数。

④若函数f(x)在（1，2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在(1,3)上为增函数。

通过对判断题的讨论，加深学生对定义的理解：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。

②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数。

（五）总结反思，提高认识

本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础。

1、课堂小结

（1）引导学生回顾函数单调性定义的探究过程，体会数学概念形成的三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义。

（2）判断、证明函数单调性的方法：①图象

②定义

（3）证明函数单调性的方法和步骤（设元、求差、变形、断号、定论）

（4）知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合、归纳、类比、抽象概括等，同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫。

2、布置作业

（1）阅读课本P27－29 （2）书面作业：

必做：教材 P39 1、2、3、4 共 9 页 第 8 页

探究：函数的单调性如何？请证明你得到的结论。

在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对函数单调性概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，根据学生课堂实际接受效果，又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学探究，以便让不同的学生在数学领域得到不同的发展，本题机动处理。

六、教学评价设计

评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：

1、

通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

3、

通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

4、

通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

yx1x共 9 页 第 9 页