阅读与思考 函数概念的发展历程板书设计及设计说明

§2.2.1《椭圆及其标准方程》教案

授课人：胡

军

（一）教学目标：

1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程，

能正确区分焦点在x轴、y轴上的椭圆的标准方程. 2.能根据相关条件，运用定义法或待定系数法求椭圆的标准方程，

进一步理解求曲线方程的基本思想. 3.渗透数形结合和等价转化的数学思想，培养学生的观察能力、探索能力和创新意识，

提高运用坐标法解决几何问题的能力

（二）教学重点：椭圆的定义和标准方程

（三）教学难点：求椭圆的标准方程

（四）教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

（五）教具准备：PPT课件与Flash动画，与几何画板．

（六）教学过程：

（1）设置情景，引出课题

观察图片：①

太阳系行星的运行轨道是什么形状？(多媒体展示)②

PPT多媒体展示日常生活的椭圆形象。

提出新问题：椭圆是怎么画出来的？椭圆的定义是什么？标准方程又是什么形式？

引出课题：椭圆及其标准方程

（2）小组合作，形成概念

请两位同学在黑板上完成数学实验，再动画演示椭圆形成过程．

取一条细绳,把它的两端固定在板上的两点用铅笔尖把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出

的图形是什么曲线？

同时请下面的同学们观察数学实验和动画演示椭圆形成过程，思考下列的问题：

1．在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？

2．类比圆的定义你能归纳出椭圆的定义吗？

板书椭圆的定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的焦点(Focus)，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

（3）椭圆标准方程的推导：

1．回顾：求曲线方程的一般步骤：

①建系→②设点→③呈现几何条件→④代入坐标→⑤化简

2．提问：如何建系，使求出的方程最简？（对称性原则）

- 1 -

以下过程按照第一种方案来求椭圆的标准方程：

①建系：以F1,F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

②设点：设M(x1,y)是椭圆上任意一点，为了使F1,F2的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设|F1F2|=2c(c>0)，则F1(-c,0),F2(c,0)

设M与两定点F1,F2的距离的和等于2a

③呈现几何条件：|MF1|+|MF2|=2a

④代入动点坐标：(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a,

⑤化简：（突破难点设问：如何化简带根式的式子？对本式是直接平方还是整理后再平方好呢？）

(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2

两边平方，得：(x+c)2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2

即a2-cx=a(x-c)2+y2两边平方，得：a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

整理，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

令a2-c2=b2(b>0)（指出其几何意义，及这样处理的必要性），则方程可简化为：b2x2+a2y2=a2b2

整理成：x2a2+y2b2=1(a>b>0)

指出：方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上，

焦点是F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2

讨论：如果以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，

焦点是F1(0,-c),F2(0,c)，椭圆的方程又如何呢？

Q(x+c)+y222+(x-c)+y(y-c)+x222=2a?=2a?x2a2y2a2y2b2x2b2=1(a>b>0)

=1(a>b>0)

Q(y+c)+x+22

引导学生从代数和几何两方面对比得出：

y2a2+x2b2=1(a>b>0)为椭圆的另一标准方程．

引导学生思考：从数的角度认识椭圆标准方程。讨论得出：

①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 ②椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。

③由椭圆的标准方程可以求出三个参数a , b , c的值。

④椭圆标准方程中, 看x2，y2的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．

（4）知识应用：

x2y2+=1，a=

5 ，b =

4 ，c =

3

，焦点坐标为(-3,0)、(3,0)，

例1：①设椭圆的方程为：2516焦距等于

6 . x2y2+=1

则，a=10，b =8，c =6，焦点坐标为

(0,-6),(0, 6)，焦距等于12. ②设椭圆的方程为：64100x2y2例2：已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(

) 25－mm＋9A．－9

B．8

C．16

D．m>8

[答案]

B

- 2 -

m＋9>0解：

由题意得25－m>0m＋9>25－m

，解得8

方程Ax2+By2=1

在什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？

什么时候表示焦点在y轴上的椭圆呢？

A0,B0,AB;

BA0;

AB0

例3：已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．

A 【思路探究】(1)解答本题时如何建系更简单？

(2)由△ABC的周长为18能否得到A到B、C的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？

B

C 解:

以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．

由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．

由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8. 因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a＝10，

x2y2即a＝5，且点A不能在x轴上．由a＝5，c＝4，得b＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

2592规律总结：

1．本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A的轨迹方程，解答时不要漏掉y≠0这一条件．

2．用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则代入求解即可．

（-，

）变式：已知椭圆的两个焦点坐标分别为（0，-2），（0, 2）并且经过点，求它的标准方程。

3252y2x21

两种方法：定义法，待定系数法。106（七）课堂小结（多媒体展示）

（1）椭圆的定义及其标准方程；

（2）标准方程中a,b,c的关系；

（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系. 注1：焦点在x轴的椭圆x项分母较大；焦点在y轴的椭圆y项分母较大. 注2：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b的值.

（八）作业布置

《课时作业》：椭圆及其标准方程第一课时作业（附后）

课外延伸阅读：教材P42：《为什么圆锥截口曲线是椭圆》

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课时作业：

1.

平面内两点A,B的距离等于10,则到这两个定点A,B的距离之和为10的点的轨迹是

x2y2+=1上一点P到其一个焦点的距离等于3,则P到另一个焦点的距离等于

2 .已知椭圆25163. 椭圆9x2+4y2=1的焦点坐标是

,焦距为

4. 椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=

x2+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边5. 已知VABC的顶点B,C在椭圆3上,则VABC的周长是

x25. 设0＜a＜方程sina2y2+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则a的取值范围是

cosax2y2-=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是

6. 方程2mm-17. 若椭圆经过点(-4,0),b=3,其焦点在x轴上,则该椭圆的标准方程为

x2y2+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则△MNF2的周

8. 已知F1，F2是椭圆259长为

9.椭圆x2y2+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于

259x2y2+=1上的一点P的横坐标是2 ,求

10. 已知椭圆259(1) 点P到椭圆的左焦点的距离PF1;

(2) 点P到椭圆的右焦点的距离PF2

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