阅读与思考 函数概念的发展历程教案设计（一等奖）

参数方程

x＝t2，1. (1)求圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标．

y＝2tx＝2s＋1，x＝at，(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(ty＝sy＝2t－1为参数)平行，求常数a的值．

x＝1－22t，2.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l2y＝2＋t2与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

x＝4cos

θ，3.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过y＝4sin

θ，π点P(2，2)，倾斜角α＝. 3(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；

(2)设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．

x＝a－2t，x＝4cos

θ，4.已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θy＝－4ty＝4sin

θ为参数)．

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

5.

直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，Bx＝3＋cos

θ，分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，求|AB|的最小值．

y＝4＋sin

θx＝2＋t，x2y26．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

49y＝2－2t(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

1

7.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆Cπ的极坐标方程为ρ＝2cos

θ，θ∈0，. 2(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

8.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已ππ知点A的极坐标为2，，直线l的极坐标方程为ρcosθ－＝a，且点A在直线l上．

44(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；

x＝1＋cos

α，(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．

y＝sin

α9.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线πC2的极坐标方程分别为ρ＝4sin

θ，ρcosθ－＝22. 4(1)求C1与C2交点的极坐标；

(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，b3(t∈R为参数)，求a，b的值．

y＝2t＋1

2

答案

1.(1)把参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标为(1，0)．

x＝2s＋1，x＝at，(2)由直线l1：(s为参数)消去参数s得：l1：x－2y－1＝0.由直线l2：y＝sy＝2t－1(t为参数)消去参数t得：

211l2：ay－2x＋a＝0.∵l1∥l2，∴＝≠，a＝4. a2ax＝1－22t，2.解：将直线l的参数方程(t为参数)代入抛物线方程y＝4x，

2y＝2＋t2222得2＋t＝41－t，解得t1＝0，t2＝－82.

22所以AB＝|t1－t2|＝82.

3.解：(1)由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2＝16.

因为直线l过点P(2，2)，倾斜角α＝，

3，x＝2＋tcosπ3所以直线l的参数方程为(t为参数)，

πy＝2＋tsin3，2π即(t为参数)．

3y＝2＋2t，(2)把直线l的参数方程(t为参数)，

3y＝2＋2t，132＋t＋2＋t＝16，

代入圆C：x＋y＝16中得2222221x＝2＋t，21x＝2＋t，2整理得：t2＋2(3＋1)t－8＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－8，即|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝8.

故|PA|·|PB|的值为8. 4. (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，

圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

(2)因为直线l与圆C有公共点，

3

|－2a|故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，

5解得－25≤a≤25.

x＝3＋cos

θ，5. 曲线C1：(θ为参数)的直角坐标方程为

y＝4＋sin

θ(x－3)2＋(y－4)2＝1，知C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2：ρ＝1的直角坐标方程是x2＋y2＝1，可知C2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C1和C2上的两点A，B的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB|min＝（3－0）2＋（4－0）2－1－1＝5－1－1＝3.

x＝2cos

θ，6.

解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．

y＝3sin

θ直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos

θ，3sin

θ)到l的距离为d＝则|PA|＝d25＝|5sin(θ＋α)－6|，

5sin 30°5|4cos

θ＋3sin

θ－6|.

54其中α为锐角，且tan

α＝.

3225当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

525当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为. 57. (1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

x＝1＋cos t，可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．

y＝sin t(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝.

3πππ33故D的直角坐标为(1＋cos，sin)，即，. 3322ππ8.

解：(1)由点A2，在直线ρcosθ－＝a上，

44可得a＝2.

所以直线l的方程可化为ρcos

θ＋ρsin

θ＝2，

从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

4

(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，

所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1，

因为圆心C到直线l的距离d＝所以直线l与圆C相交．

9.解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，

直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

22x＋（y－2）＝4，x1＝0，x2＝2，解得

x＋y－4＝0，y1＝4，y2＝2.12＝<1，

22ππ所以C1与C2交点的极坐标为4，，22，.

24注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，点P与点Q的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．

故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

bab由参数方程可得y＝x－＋1.

22所以解得a＝－1，b＝2. ab－2＋1＝2，

b＝1，2

5