阅读与思考 函数概念的发展历程课堂实录【1】

《函数的概念》教学设计

【三维目标】

了解：通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；了解构成函数的三要素；

理解：函数概念的本质；抽象的函数符号别与联系；会求一些简单函数的定义域；

经历：让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程，函数定义域的求解过程以及求函数值的过程；渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力；

体验：通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，体验函数思想；通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性和简洁美．

【教学重点】函数概念的形成，正确理解函数的概念.

【教学难点】发展学生的抽象思维能力，对函数概念本质的理解．

【教法选择】问题式教学法：本堂课的特点是概念教学,根据学生的心理特征和认知规律，我采取问题式教学法；以问题串为主线，通过设置几个具体问题情景，发现问题中两个变量的关系，让学生归纳、概括出函数概念的本质,这也符合建构主义的教学理论．

【学法选择】探究式学法：新课程要求课堂教学的着力点是尊重学生的主体地位,发挥学生的主动精神,培养学生的创新能力,使学生真正成为学习的主体，结合本堂课的特点，我倡导的是探究式学法；让学生在探究问题的过程中,通过老师的引导归纳概括出函数的概念，通过问题的解决，达到熟练理解函数概念的目的,从而让学生由“被动学会”变成“主动会学”．

的意义；(为常数)与的区

【教学媒体选择】教学中使用多媒体来辅助教学，其目的是充分发挥快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于适当增加课堂容量，提高课堂效率；同时与黑板板书相结合．

【教学过程设计】

(一)结构分析

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为七个阶段：

(二)教学过程

课题引入

2010年9月5日0时14分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功将“鑫诺六号”通信广播卫星送入太空．在“鑫诺六号”飞行期间，我们时刻关注着“鑫诺六号”离地面的距离随时间是如何变化的，数学上可以用

来描述这种运动变化中的数量关系. （函数）

1．回忆旧知，引出困惑

问题一：请举出初中学过的一些函数．

，，等．

问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么?

在一个变化过程中，有两个变量与值和它对应，那么就说

问题三： 学生活动：先由学生思考回答，对产生的两种意见展开小组讨论．

由于受认知能力的影响，利用初中所学函数知识很难回答这些问题，形成认知冲突，从而引出本堂课的课题（用幻灯片打出课题）．让学生带着悬念、带着认知冲突学习后面的知识，这样有利于激发学生的学习欲望．

2.创设情境，形成概念

实例一：一枚炮弹发射后，经过距地面的高度（单位：

问题四：１.的范围是什么？ ２.和 （实例一由师生共同完成）

有什么关系？这个关系有什么特点？

的范围是什么？

落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹．

是函数吗？

是，如果对于的每一个值，都有唯一确定的的函数，叫自变量．

）随时间（单位：）变化的规律是：

事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需求越来越大，对环境的影响也越来越重，下面请同学们自学有关臭氧层空洞的问题和恩格尔系数的问题：

实例二：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从

年的变化情况．

实例三：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

时间（年）

恩格尔系数（%）

53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

通过先对两个实例的学生自学，然后请学生谈感受，老师提问，学生回答，师生共同完成.

问题五：实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？

问题六：以上三个实例有什么相同的特征？

学生活动：让学生分组讨论交流，总结归纳出：

共同特点：①都有两个非空数集③对于数集对应.

问题七：满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？（先让学生说，老师再做补充）

引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数.

你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？

函数概念：

设数，在集合是非空的数集，如果按某种确定的对应关系中都有唯一确定的数.

，使对于集合中的任意一个为集合到集合；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；，在数集中都有唯一确定的值和它中的每一个，按照某种对应关系和它对应，那么就称的一个函数，记作

其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

问题八:请同学们根据现在函数的定义说说前面三个实例是否表示两个集合的函数关系？

问题九: 问题十:用几何画板在平面直角坐标系中画出一段弧，并作平移和旋转，同时让学生判断这些平移和旋转中的弧是否表示函数图象.

方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？

可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？

3．质疑解惑,剖析概念

问题十一:请同学们勾画出概念中的关键词，并用简洁的语言说明．

通过交流得出以下几点：

①

② 任意性与唯一性；

③ 确定的对应关系，对应关系

问题十二:函数由几部分组成? 可以是解析式、图象、表格．

都是非空的数集；

是函数吗?

三要素：定义域、值域、对应法则，缺一不可．

问题十三:怎样理解符号 在法则 4．讨论研究，深化理解

下，所对应的函数值，并结合生活实例说明．

? 【例1】已知函数 （1）求函数的定义域；

，

（2）求 （3）当 时，求的值；

的值．

想一想：函数的定义域该怎么求？符号 (为常数)与有哪些区别与联系? （学生先思考、计算，老师提问，师生共同完成）

5．即时训练，巩固新知

练习1．求函数 练习2．已知函数 学生活动:抽两位学生到讲台在黑板上分别完成（其他同学在下面完成），完成后，师生共同评价完善．

求的值．

的定义域：

6．总结反思，提高认识

今天，我们在初中函数定义的基础上，运用集合与对应的语言重新刻画了函数，比较两个函数的定义，同学们有什么新的认识．

引导学生思考回答，老师作适当补充．

7．分层作业，自主探究

作业：一、举出生活中函数的例子（两个以上），并用集合与对应的语言来描述函数；

二、A组学生做：P24 1、2、3、4；

B组学生做：必做A组学生所做，选做P25 1题．