阅读与思考 函数概念的发展历程名师教学设计

《函数的概念（一）》教案设计

一、教材的地位与作用

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。

函数的概念是抽象概括出的概念，通过大量的实例，培养学生从“特殊到一般”的综合归纳的能力，培养学生分析问题的能力，引导学生如何发现事物的本质，如何找到问题的突破口来解决问题。

二、教案目标分析

（一）1、知识与技能：

（1）

理解函数的概念及其符号表示，能够辨别函数的例证和反例

（2）

会求简单函数的定义域与值域

（3）

掌握构成函数的三要素，学会判别两个函数是否相等，理解函数的整体性

2、过程与方法：

(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

(2)通过函数概念学习的过程，培养学生从“特殊到一般”的分析问题能力以及抽象概括能力

3、情感态度与价值观

让学生体会现实世界充满变化，感受数学的抽象概括之美。

（二）教案重点与难点

1、教案重点：函数的概念，构成函数的三要素

2、教案难点：函数符号y=f(x)的理解

三、学习者特征分析

在初中学生已经学习了变量观点下的函数定义；但对涉及函数本质的内容，要求是初步的. 从认知能力看,高一学生抽象思维能力相对较弱,要从函数实例中抽象出函数概念还有较大的困难. 四、教案策略选择与设计

探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导

自主合作探究式学习策略：建立小组讨论、交流、合作的课堂氛围

情景创设策略：运用生活中与教案内容相关的情景，设计问题，设计数学实验，组织教案内容，提出有启发性的引申问题，激发学生的学习兴趣

五、教案方法分析

1、教法分析：

遵循建构主义观点的教案方式，即通过大量实例，按照从“特殊到一

般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向分组研究尝实验证，归纳总结，通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生在心理上得到认同，建立新的认识结构。

2、

学法分析：

倡议学生主动观察，积极思考，提出问题，大胆猜测，从而自主归纳小结。在学习中培养自我的从“特殊到一般”的分析问题能力，感受数学的抽象概括之美。

六、教案资源与工具设计

教师自制的多媒体课件

七、教案过程

1、复习回顾

回顾初中所学函数（如一次函数y=ax+b a≠0等）及函数的概念：（传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数， x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

2、

创设情境

（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：

h=130t-5t2. （﹡）

1> 提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？

炮弹飞行时间t的变化范围是数集A{t0t26}

，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B{h0h845}

2> （可以用几何画板展示）从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应. （2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.

S 30 26 25 25 20 15 10 5 O 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001

t 图1

1> 提问：

观察分析图中曲线，时间t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系. 根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集A{t1979t2001}

，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集B{S0S26} . 2> 对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应. （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化. 表1-1“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间(年) 城镇居民家庭

恩格尔系数(%) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 1> 提问：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系. 2> 根据上表，可知时间t的变化范围是数集A{t1991t2001,tN}

，恩格尔系数y的变化范围是数集B{y37.9y53.8}。并且，对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应. 3、

探究新知

（1）（小组讨论）P16 思考：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么不同点和共同点？

归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解读式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系. 其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作f:AB.

（2）函数的概念（让学生用集合与对应的语言刻画函数，抽象概括出函数的概念）

一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.（{f(x)|xA}B）

（1）

解剖分析：

1>

函数是两个数集之间建立的对应

2>

“任意”、“唯一”

对于每个x，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与

数之间的一一对应或者多一对应

3> 认真理解yf(x)的含义：

yf(x)是一个整体，f(x)并不表示f与x的乘积，它是一种符号，它可以是解读式，如实例（1）；也可以是图像，如实例（2）；也可以是表格，如实例（3）；yf(x)如同一个加工厂，把把输入的数x，按照某种加工过程如解读式，图像，表格，加工称另外一个数值y。

（4）研究函数时，常会用到区间的概念。

学生要明确以下几点：

1> 区间的左端点必小于右端点

2> 以“”或“”为区间一端时，这一端必须是小括号

（5）学生独自完成下列表格（可以用区间表示）

函数

对应关系

定义域

值域

一次函数

二次函数

a0

a0

反比例函数

4、

巩固反思

例1 判断下列对应是否为函数

(1) y1 (xR)(2) yx(x0)(3) 例2教材P17 例1 例3教材P19 #1 #2 (以下备用) 1> 下列图像中不能作为函数y= f(x)图像的是（ ）

y y y x2,x0,xRx

y O x O x O x O x A B C D 2> 求下列函数的定义域

2f(x)2x1f(x)x3x5

①②1f(x)111x

③f(x)x1+2x④⑤f(x)1xx31

5、小结作业

（1）小结：函数的概念；函数的三要素；如何判断两个函数是否相等

（2）作业：

1> 必做题：教材P24 #1 #3（只需定义域） #4 2> 选做题：

已知f(x)1,g(x)x22（,1）求f(2),g(2)的值；（2）求f(g(2))的值；1x

(3)求f(g(x))的解析式

教案流程图

开始

八、教案评价设计

本节课学生在自觉进入问题情境后，通过实践、探索、体验、反思等课件：出示探究结果

录像课件

演示实验

活动开展探究式学习，亲身经历知识的产生过程。开放的课堂环境给予学生充分展示的自由空间，真正体现学生的主体地位，使学生在知识的形成指导观察

过程中，获得数学的情感体验，享受到成功的乐趣，同时在思想方法运课件：示例

用、思维能力等方面得到提高和发展。教师不多的发言也注重分析思维过学生讨论交流。

讲解例题

教师帮助引导

教师归纳总结并让学生做练习

程，引导学生认识科学的思维规律，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力．

现代教育心理学的研究认为，有效的概念教案是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教案设计过程中注意了：㈠在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”．㈡引导学生通过同化，顺应掌握新概念。㈢设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。

本节课的设计遵循了教案的基本原则；注重了对学生思维的发展；贯彻了教师对本节内容的理解；体现了“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质结合”。希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用

学习效果评价

评价方式

师评

评价内容

评价工程

课堂发言反映出的思维深度

课堂发现问题的角度、能力

课堂练习的正确性

课堂学习的积极性

小组中发言的次数、质量

设计解决问题的方法、方案

帮助同学的情况

本节课的学习兴趣

独立思考的习惯

合作交流的意识

对知识、方法等方面获得收获的程度

A 12 12 13 13 10 10 10 5 5 5 5 评价等级

B 10 10 10 10 8 8 8 4 4 4 4 C 8 8 7 7 6 6 6 3 3 3 3 小组互评

自评

本次设计的特点

在本节课设计中运用了支持学生探究策略：为学生创造充分的自主空间，让学生有动脑思考、动手操作、动笔尝试、动口表达的解决问题和提出问题的时间与空间，使其外部活动逐渐内化为自身内部的智力活动，从而获取知识，发展技能，以更加积极的姿态自主参与学习的活动。

（1 ）减少“讲”的时间，增加“练”的时间

自主学习即是在教师指导下，由学生自主解决问题，这自然需要给足学生思考时间，而相应地教师就要严格控制“讲”的时间，能少讲的尽量少讲，能让学生自己动手的就让其动手去做。如本节课的教案设计中，图形由学生来画，方程让学生推导，一节课的大部分时间都交给学生，教师进行适当指导，这样减少了讲的时间，学生就有更多“练”的时间、展示的时间。通过自身的努力，学生一步步完成知识的探索过程，不仅有成就感，更有实践的体验，在获取知识的过程中发展了能力。

（2）

减轻课业负担，增加自主时间

传统的做法是教师“满堂灌”，课后留作业，由于科目多，作业量大，学

生被困在作业堆里，只能疲于应付，无自主时间，很难有自主创造。要发展，必须减轻学生过重课业负担，增加自主时间。这并非是要取消作业，相反，必要的巩固训练并不可少，只是一方面可将一部分训练放在课内，课后作业要少而精，另一方面也可分类布置，实行统一与指导相结合，即将作业分成A、B、C等若干类，学生根据实力分类要求，学有余力的还可选作，体现了学生的主动性、潜在性和差异性，使各种层次的学生都有较大的自主时空。

（3）自编练习，实现真正意义上的自我尝试

不是让学生按教师设计好的步子一步一步地走到教师的预定地，这种层次的参与中，学生是被动的，没有多少深层思考的，而自编练习的过程实现了真正意义上的学生参与尝试。

教案反思

函数是高中数学中一个非常重要的内容之一，贯穿整个高中数学学习。其重要性体现在：

1、函数源于在现实生活，具有广泛的应用。

2、函数是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。

3、函数部分内容蕴涵重要数学方法，分类讨论的思想

，数形结合的思想，化归的思想等。这些思想方法是进一步学习数学和解决数学问题的基础。

然而函数这部分知识在教案中又是一大难点这主要是因为概念的抽象性，学生理解起来不容易，由于函数这部份知识的主要思想特点体现于一个“变”字，接受起来就更难。研究的主要是“变量”与“变量”之间的关系，要求用变量的眼光，运动变化的观点去看待相关问题，所以函数成了高一新生进入高中的一条拦路虎。突破了它后面的学习就容易了。

函数的概念表现出来的都是抽象的数学形式，在数学的教案中，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。所以函数概念的教案更忌照本宣科，我注意对知识进行重组。努力去提示函数概念的本质，使学生真正理解它，觉得它有用，而乐于学习它。

课堂气氛较为活跃。学生不仅能在课堂上勇于发言，而且能做到言之有理，还能积极参与小组讨论交流，共同分享团队协作的成果，基本完成教案目标。