4.2 弧长优秀公开课教案

弧长与扇形面积(1) 陈瑾

一．教学目标：

1、

认识弧、圆心角和扇形这些基本图形，理解扇形的概念；

2、

通过观察、操作得出弧长、扇形面积与它们所在圆的半径、圆心角的大小有关；

3、

利用部分与整体的关系，运用从特殊到一般的思维策略，推导出弧长公式；

4、

在类比弧长公式推导扇形面积公式的过程中，体验将未知问题转化为已知学过问题的过程；

二．教学重点与难点

1、

理解扇形的概念；

2、

弧长公式与扇形面积公式的推导过程；

3、

体验整体与部分、转化、类比等数学思想，形成从特殊到一般的思维策略，感受控制变量法是问题探究中的一种方法。

三．教学过程

（一）课前引入

思考1：小蚂蚁在圆周上从A点运动到B点,所走过的路径是什么图形呢? 【引出“弧”概念，弧的分类及其表示】

学答：曲线/弧

师：圆上的这条曲线我们给其命名为弧/同学们都已知道圆上的曲线就是弧。

我们给弧一具体定义：圆上任意两点之间的部分，称之为弧

师：同学们观察下黑板上老师所画的一的圆，在圆上取任意两点标记为点A和点B，你试着发现图上有几条弧？

学答：两条。一条弧小于半圆，另一条弧大于半圆

师：同学们都很棒，发现圆上任意两点间的弧实际有两条。对于小于半圆的弧，我们称之为劣弧。对于大于半圆的弧，我们称之为优弧。

师：而弧的表达方式与线段表达方式类似。同样将这条弧的两个端点字母写好AB，此时就是线段的表示，而弧只需要在字母AB上方添加一条曲线。读作弧AB。这是劣弧的表达方式。而优弧太大，只用两点不够表示，所以需要在弧上另取一点，标记点C，记作弧ACB. 思考2：将一个圆过圆心平均切割成若干份，

(1)平均分成2份 (2)平均分成4份 (3)平均分成8份。

所得到是什么图形？每一份图形是全部的几分之几？

【几何画板操作演示】

学答：扇形

问：同学们通过之前所学的扇形统计图，已知该图形是扇形。观察一下上述图形，他有哪些元素组成？

【引入扇形定义，列举下生活中常见的扇形图形】

学答：两条半径和一条弧

师：同学们发现此图是由三条线围绕封闭组成，分别是两条半径和一条弧。

问：圆上的半径有无数条，而且两点间的弧有劣弧和优弧，你怎么知道怎么选择？还有没有其他关键要素？

师补充：还有一关键要素，我们称之为圆心角即顶点过圆心的角。

给出扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。

师：让学生列举生活中常见的扇形物品。

概念辨析：

【着重强点第4个扇形，此扇形的组成弧是条优弧。】

（二）新课导入

提出问题：弧的长度与什么因素有关？

【通过学生的回答和几何画板的动态演示，得出弧长、扇形的面积与它所在圆的半径、圆心角的大小有关。】

学答：与圆心角和半径有关

师：同学们猜想弧长是与圆心角和半径有关，那我们看一段视频。通过视频，我们发现同学们猜想不仅正确，还从中发现。圆心角相同时，半径越大，弧长也越大；在同一个圆中即半径相同，圆心角越大，其所对的弧长也越大。

师：圆同样是条曲线，但我们可通过圆周长公式求解圆周长。作为圆上一部分的弧，是否也能通过公式计算出弧长呢？

给同学们2分钟时间，思考并补全学习单上的探究图表的前四个图形的表格内容。

师：观察已补全的四个图形表格，同样圆心角与周角是部分整体关系，弧长是圆周长的部分整体关系。你能发现这四个量还存在怎样的关系？

答：圆心角、周角、弧长、圆周长成比例即

圆

师：我们试着从这些特殊图形推向更一般的图形，同学们看一下该表格中的当圆心角为1°时，该如何求其所对弧长？再一般的图形，当圆心角是n°时，求弧长。

引导探究如图表：

探索与归纳: 弧长、圆心角的关系（圆半径为r）

圆心角n°

圆心角n：周角360

圆心角所对圆心角所对弧长l弧长

：C圆

占C圆的几分之几

圆心角所对的弧长

1°

n°

根据表格，周角360°、圆心角n°、弧长l和圆周长C四者之间的关系是 利用弧长是它所在圆周长的一部分这样一个部分与整体的关系，从特殊到角度入手，归纳出一般情况，并最终归纳出弧长公式。

弧长公式：设圆半径是r，n°圆心角所对的弧长是

l

（三）类比探究

类比弧长公式的推导过程，得出扇形的面积公式。

扇形的面积公式：设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，那么S扇形nnnC圆2rr。

360360180nr2。

360师：给5分钟小组讨论，仿照弧长公式的推导来探究扇形面积公式，之后会请同学们进行展示。

【脱离投影，该选用教具纸片、吸铁石，小组合作交流并上台动手操作展示】

（四）课堂小结

师：本节课，你学到了些什么？有什么收获？

学答……

师总结：1、两个公式：弧长和扇形面积的计算公式；

2、两个思想方法：“从特殊到一般”、“类比和转化”。

四．作业布置：练习册4.2和4.4

五．提高和探究

提高题：完成表格 半径r、直径d、圆心角n、圆心角所对弧长l（保留

）

r

d

n

C圆

圆

l

扇

圆

S扇

3

8 10 45°

14

7

15

探究题：在探究圆的面积公式时，我们运用了割补法，请再次运用这个方法，推导

扇

，

并说明它的正确性。