阅读与思考 函数概念的发展历程教案设计（一等奖）

课题：函数的概念

授课教师：东莞市济川中学

张肇基

教材：人教A版必修1§1.2.1 项目

内容

【地位与作用】

函数是高中数学的最重要概念之一，在高中代数有着统领的意义. 

它是代数分析学中的“纽带”，是研究方程、数列、不等式、最优化、微积分和建模的重要工具对后面学习有重要的影响，可以说中学数学处处都有函数的“身影”. 

它蕴含了对应的重要数学思想方法，数学也从此由定量进入了变量的研究. 

从知识承接来看，它是初中函数概念的深化，也为后面函数性质和具体的初等函数研究奠定了基础. 教

材

分析

学情分析

【学生实际的数学基础】



我校学生数学基础薄弱，特别是抽象思维能力比较欠缺；



学生初中较少接触抽象概括性的数学语言，对数学语言的理解能力比较弱. 

学生在课堂活动中自主思考和问题钻研能力不高，需要老师循序渐进的引导. 【学生已有的知识与能力】



学生在初中阶段已经学过函数的描述性概念，部分简单函数及其函数图象，对函数有了一定了认识. 【确定依据】



课标和考纲的要求

新《课标》中，对函数概念的要求是：“了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域”. 

教材的地位和作用



实际学情

教学目标

【知识与技能目标】



通过实例理解函数的概念，能用集合和对应的语言刻画函数.



了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域、值域以及了解他们的对应关系.

【过程与方法目标】



通过丰富实例建立函数概念的背景，从中抽象概括出函数概念，渗透对应的数学思想方法，使学生体会函数是变量间的对应关系的重要数学模型，并培养学生的观察发现、抽象概括及数学语言表达的能力.

【情感态度价值观目标】



通过情境的创设，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的广泛性实用性，有效激发学习兴趣；



通过教师引导下的自主探究、合作交流等方式，培养学生勇于探索、研究问题的精神和合作意识；

项目

内容

依据

重难点的突破



在教学设计上我采用了从熟悉到陌生、从具体到抽象的教学思路，利用具体函数逐步抽象，更符合学生的认知规律，有利于学生逐步体会概念的本质. 

加强用“等值语言”叙述函数解析式的对应关系，重视“图象、表格表示的对应关系是什么”的教学，使学生体会对应关系的含义. 

通过正反例子帮助理解概念中的“任意性”、“存在性”、“唯一性”. 

设置了逐步深入的课堂练习，引导学生把握概念的本质要求，从而突出重点、突破难点.

教师在这个过程中充当“先行组织者”的角色，即先行构建好学生发现学习的活动过程，组织引导学生在自主探索中获得新知. 教学重难点



高度抽象性是函数概念难以理解的根本原因，对应思想是函数的本质，但是对应关系从未定义而且【重点】

抽象，学生只能从实

体会函数是描述变量之间的依赖关系，例中体会，从而难以理解函数的概念. 理解函数的概念构成【难点】 以及整体性. 

函数概念的整体性、对应关系以及函数

我校学生的数学符号f(x)的理解.

认知水平不高，学生较易接受具体的、特殊的事物，不易接受抽象的概念. 教

学

方法

情景式教学

启发式教学

在“学生为主体、教师为主导”的建构主义教学理念的指导下，采用了情景教学模式，使学生在具体的实例中通过比较归纳，体会函数的内涵，提高学生的抽象思维能力. 教学流程

教学内容

问：同学们在初中已经学过了函数，你能举出哪些函数的例子呢？

问：你还记得初中函数是怎么定义的吗？

设计意图

通过举例引导学生回忆初中函数的描述性概念“变量说”，为新知识的建构提供了知识的准备. 备注

1、数学学习活动是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动建构过程。学习者能否主动建构形成良好的认知结构，取决于原有的认知结构里是否具有清晰（可辨别的）、可同化新的知识的观念（固定点、生长点）以及这些观念的稳定情况。

2、启发学生从原有认知结构中找出新知的生长点；利用旧知获取新知，为学生主动建构，架桥铺路。

1、知识准备

教学流程

教学内容

例1

（教科书第15页例1）如图2，一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是

h＝130t－5t2．（*）

问：炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？

时间t在哪里变化？怎么看起来？

高度h在哪里变化？怎么看起来？

t=1s，h=？

t=2s，h=？

……

t=10s，h=？

时间和高度是怎样对应？

设计意图

通过多媒体演示，使学生关注t和h的变化范围,体会用解析式刻画变量之间的对应关系.

通过利用多媒体演示炮弹落地过程以及计算，使学生体会到对应关系的三大特点“任意性，存在性，唯一性”,再用等值语言描述解析式以及图象所蕴含的对应关系.

备注

该实例来源于生活实际，有明确的物理背景，而且给出具体的解析式，跟初中的所学的函数概念比较贴近，学生更容易理解接受.

2、具体实例

教师用几何画板演示：在线段OD上给一点M，过M作x轴的垂线，并作出与图象的交点P，度量点M的横坐标与点P的纵坐标．拖动点M，随着点M位置的改变，点M的横坐标x与点P的纵坐标y都在变化。但无论点M在哪个位置，其横坐标x总对应唯一的点P的纵坐标y．

问：函数关系都是必须用解析式表示吗？

例1

图1中的曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况．这是一个函数吗？为什么？

股票指数和时间是怎样对应的？

（此例的功能与教科书中“臭氧层空洞面积关于时间的变化曲线”相同，但更贴近日常生活．）

实例三: 第23届奥运会起我国运动健儿获得的金牌数。

（表略）

结合表格探究届数x 与金牌数y之间的关系是否和前两个实例中的两个变量

之间的关系相似？你能用集合与对应的语言来描述这个关系吗？

引导学生开阔思路，冲出解析式的束缚，关注“变量说”的本质.

因为此函数没有解析式，

学生可能难以接受这是函数，可以引导学生，利用前面例子看图象的方法，发现具有类似的集合和对应关系.

用等值语言描述图象所蕴含的对应关系.

让学生解释问题，了解他们对函数本质的理解状况．要注意突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与x对应，“y是x的函数”．特别要求学生指出对应关系是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个数集做准备．

正如历史上对函数认识的发展，由于认识水平的局限，学生在此之前容易产生函数即解析式的误解.这里问题的设置是为了帮助学生跳出束缚，关注问题的本质. 同时此问题也引出下面的两个例子，帮助学生理解函数.

有些学生可能提出问题：按图象集合B中某些数，有几个t与它对应，怎么解释？不同的对应方向，对应关系也不同.

在这三个实例中，通过集合A，B的发现，渗透找定义域和值域的方法以及如何理解图象的含义.同时，通过等值语言也让学生体会到对应关系的含义.

通过选自运动，经济，社会中用三种不同方法表示的函数，既可以让学生感受到函数在许多方面的广泛应用，又可以使学生意识到对应关系不仅仅可以是明确的解析式，也可以是形象直观的图象和列表.

教学内容

学生思考讨论： 前面的实例分别用解析式、图像、列表刻画了两个变量的对应关系。虽然方式不同，但它们有共同点吗？若有，共同点是什么？

问题3 前面我们学习了集合概念，你能用集合和对应的语言描述函数概念吗？

函数定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对

应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(function) ，记作 y=f(x) , x∈A，中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)。

定义域、值域和对应关系是构成函数的三要素. 设计意图

归纳概括函数定义，同时渗透从具体到抽象的数学思维方法。

引导学生把初中学过的函数概念与高一刚学的集合知识联系起来，用集合的观点解释已有概念，获得对函数概念的新认识．

回顾上面三个例子，

讲解函数概念，突出对应关系的三大特征，指出上面三个例子中的解析式、图象、表格都是一种对应关系.

符号的理解：

指出f(x)是指x在对应关系f的作用下的函数值，而不是f乘以x.

备注

通过思考讨论，培养学生的合作交流、自主发现能力.

学生通过自己组织语言描述函数概念与课本的函数概念对比，使学生发现自己理解上的不足，同时也让学生有更多的表达机会，提高数学语言的表达能力.

3、函数概念

教学流程

教学内容

例1 填写下列表格：

设计意图

备注

4、

练习

通过用高中函数的概念

对初中所学的简单函数函数

一次二次函数

反比进行重新的理解，使对函函数

a>0

a<0

例函数的描述性定义上升到数

集合与对应语言的定义，

对应加深函数的理解,衔接初关系

高中的知识.

定义

域

值

域

通过用“等值语言”判断下列对应是否为集合A到集合B的函加强学生对对应关系的数：

（1）A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛0，2，4，6｝

理解. 通过正反例子，加深对于任意的x∈A，x→2x；

（2）A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛0，2，4，6，学生对函数概念中对应关系的“任意性，存在性，8｝对于任意的x∈A，x→2x；

唯一性”的理解.

补充：请同学们求出上面这个函数的值

域。（验

证值域是集合B的子集）

如下图所示的x→y 对应，能表示函数

的有:

强调函数的定义域通常课本例一：

由问题的实际背景确定，

1如果只给出解析式，而没例1：已知函数

f(x)x3x2有指明定义域，那么定义

(1) 求函数的定义域；

域就是指能使式子有意（2）求f（－3），f (2/3)的值；

义的实数的集合. （3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.

y = f(x)表示y是x的函数。f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，是一个常量.

总结：几类函数的定义域：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R . （2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合

. （3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是

使根号内的

式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义

的实数集合.（即求各集合的交集）

（5）满足实际问题有意义.

5、自主学习

自学“区间”概念

在研究函数时，常常需要用到“区间”概念．请大家阅读课本第17页，了解这个概念．

培养学生自主学习能力. 教学流程

教学内容

请学生小结，并相互补充，教师适当点评. 通过本节课的学习，你对函数概念有了哪些新的认识？还有哪些收获？

设计意图

备注

6、归纳小结

回顾函数概念的概括过小结归纳不应该是知识程，体会通过归纳具体事点的简单罗列，而是应该发例的共同本质特征得出挥学生的主体作用，从学习数学概念的方法；体会用的知识、体验个进行归纳. 函数概念描述变量之间依赖关系的过程与方法；体会抽象符号f：AB的含义．

通过学生小结，当场检验课堂的效率，锻炼学生的表达能力和归纳概括能力，使学生本节所学的知识和方法系统化.

7、作业设计

8、板书设计

9、评价设计

必做题检查学生所学知1、必做题：

课后习题1，2，A组第4题，B组第1题；

识掌握的程度．选做题为下节课作好准备. 2、选做题:

课本习题3.3的A组第3题：

作业分必做题和选做题两个部分，必做题是对本节课所学内容的一个反馈，选做题是本节课所学内容的一个延伸.注重了知识的延伸性和连贯性.

课题：函数的概念

（1）

函数概念

1、

实例

2、

概念：

f的三大特征：

三要素：

（2）

练习

简单函数：

例一：

（3）

课后作业

设计意图：再现过程，突出重点

1、过程性评价：



通过问题引入，在探究发现的过程中，类比，归纳，抽象，充分挖掘思维的深度和广度，培养学生的数学思维能力，关注整个过程和全体学生，提高学习积极性.



根据建构主义教学的理念，上好一节课的着眼点应放在如何引导学生获得知识，探究知识上.所以在概念发现的过程中，教师始终以学生原有的知识结构出发，多次在类比归纳中获得问题解决的方法，从而突破了教学难点. 2、反馈性评价：对学生的思维活动给予肯定的评价，及时纠正暴露的问题，培养了学生的习惯并陶冶了情操. 以上是我对这节课的设想，恳请各位专家和老师批评、指正．

谢谢！