阅读与思考 函数概念的发展历程课件配套优秀获奖教案

1.3.1

导数在研究函数中的应用——函数的单调性

【教学目标】1、掌握增函数和减函数的导数判别法；

2、会求函数的单调区间或进行相关证明

【教学过程】

一、问题情境：

问1：导数作为函数的变化率刻画的是函数的什么性质？

问2：前面学过的刻画函数变化的最基本性质是什么？

问3：判断下列函数yx1,yx23,yx3,yx2ex的单调性

回顾：我们学过的判断函数的单调性的方法：

（1）定义法： （2）图象法：

例如：已知函数yx23，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：

问4：导数的正负与函数增减性有何关系？

1. 在怎样的区间内，切线的斜率为正（负）？

2. 在（1）中相应的区间内导函数的正负情况如何？函数的增减性如何？

3. 导函数y/的正负与函数的增减性有何关系？

二、知识要点：

1、利用导数的符号判断函数的增减性：

一般的，我们有下面的结论：

对于函数yf(x)，如果在某个区间上f'(x)0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f'(x)0，那么f(x)为该区间上的减函数. 注：（1）只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间；

（2）在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点；

（3）若函数的具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间用“逗号”隔开，不能用“”或“或”或“和”连接；

（4）在某一区间内，f'(x)0（或f'(x)0）是函数f(x)在该区间上为增（减）函数的充分不必要条件，而不是充要条件；

（5）若函数在某一区间内恒有f'(x)0，则f(x)为常函数. 2、利用导数求函数单调区间的一般步骤：

（1）确定f(x)的定义域；

（2）求导数f'(x)；

（3）由f'(x)0（或f'(x)0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)0时，在相应区间上是增函数，当f'(x)0时，f(x)在相应区间上为减函数.

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三、例题分析：

例1、（1）确定函数f(x)x24x3在哪些区间内是增函数，哪些区间内是减函数；

（2）确定f(x)2x36x27在哪些区间内是增函数，哪些区间内是减函数；

（3）确定函数f(x)sinx,x[0,2]的单调区间.

例2、确定下列函数的单调区间：

（1）yx

例3、若函数f(x)x3(a1)x2在区间(,3]上是减函数，求实数a的取值范围.

-2- 21； （2）yxlnx； （3）f(x)x3ax. x

例4、已知f(x)(x24)(xa)，a为实数，若f(x)在(,2]

和

[2,)上都是递增的，求a的取值范围.

练习1、已知f(x)ax6的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为x2y50，

x2b（1）求函数yf(x)的解析式；

（2）求函数yf(x)的单调区间.

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四、课外练习：

1、函数f(x)2x2x3在区间______________上是减函数. 2、（1）已知函数f(x)xlnx，则f(x)在区间___________上是减函数，在区间___________上是增函数. （2）函数yx1在区间___________上是增函数，在区间___________上是减函数. 22x（3）函数yexx在区间___________上是增函数，在区间___________上是减函数. （4）函数y1xcosx在(3,)上的单调性是______________ 223、a3是函数yxaxb在区间(333,)上是减函数的___________条件. 334、若函数ylnxa22x在区间(,)上是减函数，则a的取值范围是___________ 225、设f(x)ax3x恰有三个单调区间，试求a的取值范围，并求其单调区间.

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