阅读与思考 函数概念的发展历程优质课教案

教学设计

1.2.1 函数的概念

三维目标

1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．

2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．

重点难点

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．

教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．

一.导入新课

问题：已知函数y＝

请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．

二.新知探究

提出问题

(1)给出下列三种对应：(幻灯片) ①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2. 时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B. ②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106 km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．

根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：

f：t→S，t∈A，S∈B. ③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间(t) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔

系数(y) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 根据上表，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y的变化范围是数集B＝{y| 37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B. 以上三个对应有什么共同特点？

(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义. (3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？

(4)函数有意义又指什么？

(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？

活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．

解：(1)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．

(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

在研究函数时常会用到区间的概念，设a，b是两个实数，且a＜b，如下表所示：

定义

名称[来源:Z,xx,k.Com] 符号

数轴表示

{x|a≤x≤b} 闭区间

[a，b]

{x|a＜x＜b} 开区间

(a，b)

{x|a≤x＜b} 半开半闭区间

[a，b)

{x|a＜x≤b} 半开半闭区间

(a，b]

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|x＞a}

(a，＋∞)

{x|x≤a}

(－∞，a]

{x|x＜a}

(－∞，a)

R

(－∞，＋∞)

(3)

自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围．

(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．

(5)C⊆B. 三.应用示例

例题

题已知函数f(x)＝x＋3＋1x＋2，

(1)求函数的定义域；

(2)求f(－3)，f23的值；

(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．

活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x＋3和1x＋2有意义的自变量的取值范围.x＋3有意义，则x＋3≥0，1x＋2有意义，则x＋2≠0，转化为解由x＋3≥ 0和x＋2≠0组成的不等式组．

(2)让学生回想f(－3)，f23表示什么含义？f(－3)表示自变量x＝－3时对应的函数值，f23表示自变量x＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f(－3)，f23的值．

(3)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值，f(a－1)表示自变量x＝a－1时对应的函数值．分别将a，a－1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a－1)的值．

解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋3≥0，x＋2≠0，解得－3≤x＜－2或x＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．

(2)f(－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f23＝23＋3＋123＋2＝333＋38. (3)∵a＞0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f(a)，f(a－1)有意义．

则f(a)＝a＋3＋1a＋2；f(a－1)＝a－1＋3＋1a－1＋2＝a＋2＋1a＋1. 点评：本题主要考

查函数的定义域以及对符号f(x)的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．

f(x)是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开

符号f(x)没有什么意义．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等等．

符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系：当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m对应的函数值，是一个常量．

已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．

(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约. 四.变式训练

1．函数y＝(x＋1)2x＋1－1－x的定义域为__________．

答案：{x|x≤1，且x≠－1}．

点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y＝x＋1－1－x，得函数的定义域为{x|x≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式．

2．若f(x)＝1x的定义域为M，g(x)＝|x|的定义域为N，令全集U＝R，则M∩N等于(

) A．M

B．N C．∁UM

D．∁UN 解析：由题意得M＝{x|x＞0}，N＝R，则M∩N＝{x|x＞0}＝M. 答案：A 3．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数f(2x－1) 的定义域是________．

解析：要使函数f(2x－1)有意义，自变量x的取值需满足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1. 答案：[0,1] 知能训练

1．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则f2(1)＋f(2)f(1)＋f2(2)＋f(4)f(3)＋f2(3)＋f(6)f(5)＋f2(4)＋f(8)f(7)＋f2(5)＋f(10)f(9)＝________. 解析：∵f(p＋q)＝f(p)f(q)，∴f(x＋x)＝f(x)f(x)，即f2(x)＝f(2x)．

令q＝1，得f(p＋1)＝f(p)f(1)，[来源:学,科,网Z,X,X,K] ∴f(p＋1)f(p)＝f(1)＝3. ∴原式＝2f(2)f(1)＋2f(4)f(3)＋2f(6)f(5)＋2f(8)f(7)＋2f(10)f(9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30. 答案：30 2．若f(x)＝1x的定义域为A，g(x)＝f(x＋1)－f(x)的定义域为B，那么(

) A．A∪B＝B

B．A B

C．A⊆B

D．A∩B＝

解析：由题意得A＝{x|x≠0}，B＝{x|x≠0，且x≠－1}．则A∪B＝A，则A错；A∩B＝B，则D错；由于B A，则C错，B正确．

答案：B 五.课堂小结及作业

本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．

课本习题1.2A组

1,5. 设计感想

本节

教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．