阅读与思考 函数概念的发展历程优秀教学设计

函数概念的发展历程

教材分析

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,纵观300年来函数概念的发展,众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想,从而推动了整个数学的发展.高中阶段将它作为阅读部分，目的让高中生了解函数概念的发展历程。

教学目标

简单认识函数概念的发展历程

教学重点，难点

重点：了解不同时期的函数概念的发展历程

难点：理解不同时期的函数概念的表达

教学过程

一

函数概念的背景

17世纪，科学家致力于运动的研究，比如计算天体的位置，远距离航海中对精度和唯独的测量，炮弹的速度对高度和射程的影响等，诸如此类问题都需要两个变量间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律做出判断。

二

函数概念的发展 1 早期函数概念——几何观念下

十七世纪伽俐略(G．Galileo,意,1564－1642)在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596－

1650)在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义,绝大部分函数是被当作曲线来研究的

2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数

1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann,瑞,1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量,贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为,其在函数概念中所说的任一形式,包括代数式子和超越式子

18世纪中叶欧拉(L．Euler,瑞,1707－1783)就给出了非常形象的,“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数。”

3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822年傅里叶(Fourier,法,1768－1830)发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新的层次.1823年柯西(Cauchy,法,1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义,同时指出,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式,不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限,突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷.

1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是公式，图像，表格还是其他形式。

等到康托尔(Cantor,德,1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维布伦(Veblen,美,1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量可以是数,也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）

4 现代函数概念——集合论下的函数 1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数.其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”,即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样,就使豪斯道夫的定义很严谨了.1930年新的现代函数定义为,若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元

函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意味着函数概念发展的历史终结,20世纪40年代,

物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的,但由于广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来.因此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继续扩展.