阅读与思考 函数概念的发展历程教学实录及点评

《函数的概念》教学设计

重庆师范大学 冉娅彪

【教学内容】函数的概念

【教学目标】

知识与技能：让学生理解构成函数的三要素、函数概念的本质、抽象的函数符号f(x)的意义，会求一些简单函数的定义域。

过程与方法：让学生通过合作探究，经历函数概念的形成过程，渗透归纳推理的数学思想，发展学生的抽象思维能力。

情感态度价值观：通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，深化函数概念，体会数学形成和发展的一般规律，培养学生的辨证思想。同时感受数学的抽象性和简洁美，激发学生学习数学的热情。

【教学难重点】

重点：理解函数的概念；

难点：理解函数符号y = f (x)的含义。

【教学过程】

1．创设情境，引出课题

同学们好！上课前我们先分好四人小组以便上课讨论活动。我们班一共有56位同学，坐位号由01到56。01.02.03.04为第一组以此类推。每位同学都明白自己是第几小组吗？如果把坐位编号认为是变量x小组编号看成是变量y，那么能说y是x的函数吗？

问题一：请同学们回忆初中函数的定义是什么? 在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量．

2.分析实例，抽象概念

实例一：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h130t5t2。

问题二（备用）：1、t的范围是什么？h的范围是什么？

2、t和h有什么关系？这个关系有什么特点？

实例二：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1.21中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变S 30 26 25 25 20 15 10 5 O 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001

t 图1 化情况。

实例三：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表11中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

时间1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 （年）

恩格尔系数53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 （%）

问题三：（1）函数是由那几部分构成的？

（2）实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？

（3）以上三个实例有什么相同的特征？

学生活动:让学生分组讨论交流，总结归纳．

函数概念：

设A、B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域．

问题四：课前我们的分组问题是函数吗？

3.讨论研究，深化理解

学生活动：学生以小组为单位讨论完成以下问题。各小组间核对答案。；

1．每个人和自己的身份证号是一一对应的，所以人是自己的身份证号是函数。

2．函数值域是B集合的子集。

3．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定。

4．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素。

5．函数的图像与直线x=2的公共点个数为（ ）

A.0个 B. 1个 C. 0个或1个 D不能确定

6．已知函数f (x)=x22定义域为1,0.1,2，则其值域为（ ）

7.怎样理解符号f(x)?你能合生活实例说明吗？

X F 加工

F(X) （原料库） （加工厂）

（成品库）

4.即时训练，巩固新知

例1、已知函数f(x)x3（1）求函数的定义域；

2（2）求f(3),f()的值；

31，

x2（3）当a0时，求f(a),f(a1)的值．

注意：1、若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，

则函数的定义域是使各部分式子都有意义

的实数集合；

2、若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则

函数的定义域应符合实际问题．

学生活动:抽一位学生到黑板上完成（其他同学在下面完成），完成后，师生共同评价完善。

例2、下列函数中那个与函数y=x相等？

(1)y(x)2(3)yx2(2)y3x3x2(4)yx学生活动:请一名同学回答并说明自己的理由。其他同学补充完成。

5.总结反思，提高认知

1．函数的概念；

2．构成函数的三要素；

3．函数的表达式. y = f (x) 6.分层作业，自主探究

作业：

一、举出生活中函数的例子（两个以上），并用集合与对应的语言来描述函数。

二、自学本节中17页区间的概念。下节课请位同学给大家讲解。

三、P19 练习 1、2、3、；

附：板书设计

函数的概念

1.三个实例的共同点：

①

都有两个非空数集。

②

对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应。

2．构成函数的三要素；

函数的三要素

3．函数的表达式. y = f (x)

X F 加工

F(X) 定义域

对应法则

值域

（原料库） （加工厂） （成品库）