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函数概念的发展历程

辉县市第二高级中学 数学组 职克明

函数概念的发展历程

一、函数概念的发展历程——教材分析

1. 教材的地位和作用：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数概念的发展历程非常的重要。

2.

教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：了解函数概念的发展历程的几个阶段，以及对函数概念的形成过程中数学家艰辛劳动的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约。

教学重点：函数概念的发展历程中不断变革的原因。

教学难点：函数概念的发展历程中的数学家艰辛劳动的理解。映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

教学过程一导入

函数概念的产生与发展不仅反映了近现代数学发展的历程,而且包含着丰富的数学思想,是一种优秀的解决问题的数学方法。探索人类在认识函数的过程中表现出来的思想方法,对函数概念的教学具有重要的引导作用,对提高学生的数学素质、培养学生的创新精神和应用意识都具有无可替代的作用。函数是数学中的一个重要概念，对于它的发展，许多文献有过详细的论述，但总有意犹未尽的

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感觉。本文循着函数概念发展的历史轨迹，把函数概念的发展分为四个时期，期望通过这种划分和阐述，能对理解函数概念有所裨益。

二、授新-----函数概念的发展四阶段

（一）函数概念的萌芽时期 函数思想是随数学开始研究事物的运动变化而出现的。早期的数学是不研究事物的运动变化的。古希腊科学家亚里斯多德曾指出，数学研究的是抽象的概念，而抽象概念来自事物静止不动的属性。例如数学中的数、线、形，这些数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究的对象，等等。受其影响，直到14世纪，数学家才开始研究物体的运动问题。到了16世纪，由于实践的需要，自然科学转向对运动的研究，自然各种变化和各种变化

着的量之间的关系成为数学家注意的对象。伽利略是最早开展这方面研

究的科学家之一，在他的著作中多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系，例如从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，等等。这正是函数概念所表达的思想意义。16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题

时，注意到量的变化及量之间的依赖关系，在数学中引进了变量思想，成为数学

发展的里程碑，也为函数的产生准备了思想基础。但直到17世纪下半期，牛顿一莱布尼茨建立微积分时，数学上还没有明确的函数概念。函数作为数学术语是

由德国数学家莱布尼茨在1673年引进的，当时莱布尼茨指的是曲线上点的横坐

标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，凡与曲线上的点有关的量，称为函数。

从这个定义可以看出,莱布尼茨利用了几何概念，在几何的范围内揭示了某些量

之间的依存关系。总之，18世纪以前，函数的研究多从属于曲线的研究，带有“几何”烙印的莱布尼茨的函数定义可以说是这个时期函数思想发展的总结。

（二）函数概念的

“解析定义

”时期18世纪微积分的发展促进了函数概念

“解析定义”的发展。出生于伯努利家族的雅各·伯努利和约翰·伯努利两兄弟，在数学的许多领域有过建树，他们不但整理加工了莱布尼茨零碎而又是梗概性的文章，而且他们对函数概念的发展也做了创造性的工作。在研究积分计算

问题上，约翰·伯努利认为：积分计算的目的是给定变量的微分中,找

出变量本身之间的关系。在对待“找出变量本身之间的关系”的表示上，显然用莱布尼

茨定义的函数表示是困难的。于是1718年约翰·

伯努利从解析的角度给出了函数

的定义：变量的函数就是变量和常数以任何方式组成的表达式，记作X或专。

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其后他对函数记号又作了改进,用中x表示X的函数。记号f(x)是瑞士数学家欧拉于1734年引进的。欧拉是18世纪最伟大的数学家 ,他的研究涉及数学

的许多领域，欧拉对函数概念的发展也做出了巨大贡献。在欧拉时代，主要运算关系是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，欧拉把由这些运算结合起来的变量和常数而得到的式子称为解析表达式。在此基础上，欧拉把伯努利的函数定义改进了一步，1748年欧拉在他的《无穷小分析引论》中写到:变量的函数是一个解析表达式，它是这个变量和一些常数以任何方式组成的。欧拉又称这种函数为“解析函数”。另外，欧拉在这部著作中还定义了多元函数、单值函数与多值

函数，这对函数意义的认识起到很重要的作用。1750年左右，在研究弦振动问题时，欧拉发现所有的解析式都能用一条曲线表示，但并不是所有的曲线都能用

解析式来表示，又由于当时积分运算的发展以及对椭圆积[收稿日期]2003-01 -05-10一分的进一步认识，欧拉意识到原有的函数定义有些狭隘，于是他相继给出了比上述定义更广泛的函数定义：若某些量以如下方式依赖于另一些量 , 即当后者变化

时前者也随之而变化，则称前量是后量的函数。函数概念虽经伯怒利、欧拉等人的努力，其意义有了较大的扩展，但在当时，人们对函数的认识普遍是：(l)连续曲线所给的函数是连续函数，并一定能由一个解析式来表示； (2)把不连续的曲线或折线分成多条曲线或折线而建立的函数，不是一个函数而是多个函数的集合，故绝不可能用一个解析式表示。能用一个式子表示的函数称作真

函数，其余的都叫伪函数；(3)基于对多项式相等的认识，认为对区间汇a，b]上的一切值，恒有相同函数值的两个函数是完全相同的，从而对【a , b] 以外的x的值，这两个函数的值也相等；(4)只有周期性曲线才能用周期函数(三角

类 )表示。对于上述认识，1807年，法国数

学家傅立叶在他的《热的分析理论》

一文中，举了如下例子来说明“由不连续的线给出的函数能用一个三角函数式来表示”多。后来德国数学家狄利克雷和黎曼注意到，重要的不是“自变”

所引起的因变现象，应该是变量间的“对应”关系。1837年，狄利克雷给出了意义更广泛的函数定义。狄氏的函数定义：若对给定区间上x每个值，有唯一的一个

y 值与之对应，则称y是x的函数。狄利克雷的上述定义，成功地引进了“单值对应”这个概念，巧妙地避免了过去函数定义中的不明确的“依赖关系”的描述，以清晰完美的方式表达了变量间的依赖关系，被19世纪的数学家普遍接受，成

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为函数的近代定义的原型。按照这个定义可以清楚地解释函数：f ( x ) = l x 为有理数 o x 为无理数〔著名的狄利克雷函数 )。对于这个函数狄利克雷还巧妙地给出了它的极限形式：f(x)=li m f l im ( e o n n ! 二x ) 2` 1 + . K 一 . 下 , 、

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连续

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数可用

所得到的无穷多个式子来表示

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说明 : ( l) 函数能否用唯一

的一个式子表示 , 作为区

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数

的真伪的标准 , 显然是不合理的 ; ( 2) 直线

二

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所表示的线 , 1 3 5 = 于与式子

在 0 < x < 二 L 是重合

的 , 但在

二 < x < 2 二

上却完全不同,因而,以部分相等推知整个函数也相等的结论，显然是不成立的；(3)非周期曲线用周期函数来表示也是可以的。傅立叶的研究，对函数的传统观念带来巨大冲击，这也是柯西等人寻求

函数

新定义的一个原因。

（三）函数概念的“对应定义”时期基于他人对函数概念的认识和发展，1821年法国数学家柯西在函数的定义中引人了“自变量”概念，他指出：依次取互不相同的值

的量叫做变量。当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中一个的值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中

的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表示的其他量就叫做这个自变量的函数。按照这个定义，只要由自变量x的一个值可以决定y的相应值，则y就是x的函数。显然，这个函数定义比以往的要广泛得多。

（四）函数概念的“集合定义”时期19世纪70年代，康托的集合论诞生以前，函数的研究仅限于数的范围内。集合论的产生对函数概念的研究也突破了

“数”的界限。20世纪初，美国数学家维布伦首先使用集合给出了以下概念定义:(1)变量定义：所谓变量，就是代表事物的集合中任一事物的记号；(2)常量定义。常量是变量的特殊情形，即是上述集合中只含有一个事物时的变量；(3)区域定义。变量X所代表的“事物的集合”称为该变量的区域或变域。这组定义

比以往使用的变量、区域的意义更一般，因为它突破了“数”的限制，并且这个

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变量定义还弥补了过去的变量包含的“变动”意思的不明确缺陷。利用这组定义，维布伦给出了以下函数定义：若在变量y的集合与另一变量x的集合之间，有这样的关系成立，即对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，则称变量y是变量X的函数。后来数学家又注意到“对应”意义也不够明确，于是法国布尔巴基学派用“有序对”代替了“对应”，提高了概念的准确性，从而也扩大了函数

概念

的适用范围。布尔巴基的函数定义：设A和B是两个集合，f是 A、B 的一个非空子集，若f满足对于任意a属于A,存在唯一的b属于B，使(a ,b)属于f，则称f为A到B的一个函数。总之，在函数概念的发展过程中，函数概念是一步步走向完善的，而且每一步所建立的函数新概念，总是全部包含以前

的函数概念，直到成为今天这样优美、精确而令人赞叹的形式。 函数是特殊的映射，函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：A→B记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）：x∈A}叫做函数的值域。

当堂检测

1.函数的概念发展历程最后的集合语言是如何陈述的？有哪些优点？

2.

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