阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计(第一课时)

§1.3.2【奇偶性】教学设计

---普通高中课程标准实验教科书(人教版)数学1必修

【教材分析】本节课是新课标高中数学A版必修一中第一章函数的基本性质内容的第三课时，奇偶性是对函数的整体性质的描述，在了解单调性是对函数的局部性质的描述之后，学生通过对比手段比较容易接受。函数的奇偶性是函数基本性质的重要内容，本节课是让学生理解奇偶性的概念，掌握奇偶性的判断方法与严格步骤，为以后进一步分析函数的重要性质做好准备。

【学生分析】现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且学习的信心不够，对数学产生不了兴趣，通过函数单调性和最值的学习，学生已体会了数形结合的思想，并且观察抽象能力，以及特殊到一般的概括、归纳能力，逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索，发现，研究函数奇偶性的认识基础，通过指导教会学生独立思考，大胆探索和灵活运用数形结合，归纳等数学思想的学习方法。

【设计思路】先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象的直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算证明对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立函数奇偶的概念。首先引导学生给出偶函数的概念，仿造偶函数的建立过程，学生可以探究发现奇函数的概念，从而培养学生的归纳、探究能力，增强学习数学的兴趣。

【教学目标】

1.知识与技能：

●理解函数的奇偶性及其几何意义；

●学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

●掌握判断函数奇偶性的方法与步骤。

2.过程与方法：

●通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力；

●学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，渗透数形结合的数学思想；

●借助计算机观察图象、抽象概括、归纳数学问题，体验数与形结合的数学思想。

3．情感态度与价值观：

●通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力

●通过观察具体得图象，感受生活中的对称美以及数学的美；

●通过对函数奇偶性的学习，提高自主学习能力，了解数形结合思想，提高数学表达和交流的能力。

【教学重点】函数的奇偶性及其几何意义

【教学难点】判断函数的奇偶性的方法与格式

【教学策略】

探究式与启发式结合教学

学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．

探究式教学、多媒体辅助教学，实体道具讲授对称美

【设计思路】

列举几个简单函数进

行总结归纳

举

例

操

作

在已有知识基础上

形成奇偶性的

数学视角

总

结

归

纳

体会在数学学习中

奇偶性的意义

直观图像，知识的过渡铺垫，人生观的养成

明确奇偶性在知识领域的重要性，及人生观的养成

拓展练习

落实奇偶性思想及方法应用

直观图像给出图像的特征

通过实践操作归纳给出奇偶性的严谨定义

总结，归纳奇偶性的性质，判定及注意事项

创设情景

发现问题

学生活动

分析问题

应用奇偶性

解决问题

利用多媒体给出函数（对称美的观点）

动手画出函数图像（画图五点法）

讨论并总结出奇偶性的定义及性质

教学过程

教学环节

教学程序及设计

生活中存在许多美

有和谐美，自然美，对称美，那么今天我们就来研究一下数学中的对称美，利用多媒体技术，展示对称美的概念：

生活中的喜字，中国房屋的对称式建造等；

观察生活中的各种实例，那现在我们一起来研究下数学中的对称；

1、画出下列函数的图象，

分析：根据“五点法”可以描出图象

设计意图

知识探究（一）考察下列两个函数：创

设

情

境，

引

入

新

课

f(x)|x|f(x)x(1) ; (2) .yoxy让学生自己动手画图，这都关于y轴对称。观察图象，思考得出自变量取一对互为相时，对应的函数值相等这个重要的结论。

2o图（1）图（2）xx2-3-2-10123f(x)x-9-4-10-1-4-9g(x)x3210123

2（1）仔细观察第1题的两个图象，你会发现它们有什么共同特点么？

分析：容易得到定义域关于原点对称，图象关于y轴对称。

创设情境，引入新课新课讲授

一、偶函数的概念

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x,都有

正确理解偶函数的定义，f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 以及偶函数的表达方式。

注意：

（1）定义域关于原点对称（任意一个x,都有-x在定义域内）；

（2）任意一个x都有

f(x)=f(-x)既关于Y轴对称

文字语言：自变量相反时对应的函数值相等

二、奇函数的概念

类比偶函数的探究过程及方法得出奇函数的概念

4、画出下列函数的图象。

（2）对于f(x) 和g(x)两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)，f(x)与f(-x),有什么关系吗？同理g(x)与g(-x)呢？

分析：引导学生通过具体的函数值及图象归纳出

f(x)=f(-x)，g(x)=g(-x)。最后教师通过解析式证明任意的一个x以上两个等式都恒成立。

（3）一般地，若函数图象关于y轴对称,函数值

f(x)与f(-x)有什么关系么？

分析：关于y轴对称即自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值相等。

3、小结：我们把自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值相等这样的函数叫偶函数。那么，偶函数的数学定义是什么呢?引出新定义。

知识探究（二）考察下列两个函数：1f(x)xf(x)(1) ; (2) .yxyoxox图（2）x图（1）-3-2-1012-1112313f(x)x-3-2-10123111f(x)x32

教学环节

教学程序及设计

设计意图

分析：根据“五点法”可以描出图象

5（1）仔细观察第4题的两个图象，你会发现它们有什么共创

同特点么？

设

分析：容易得到定义域关于原点对称，图象关于原点对称。

情

（2）对于f(x) 和g(x)两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，境，

f(3)与f(-3)，f(x)与f(-x),有什么关系吗？同理g(x)与g(-x)引

呢？

入

分析：引导学生通过具体的函数值及图象归纳出

f(-x)＝－新

f(x)，g(-x)＝－g(x)。最后教师通过解析式证明任意的一个课

x以上两个等式都恒成立。

（3）一般的，若函数图象关于原点对称,函数值

f(x)与f(-x)

有什么关系么？

分析：关于原点对称即自变量取一对互为相反数的值时，对

应的函数值也互为相反数。

3、小结：我们把自变量取一对互为相反数的值时，对应的

函数值也互为相反数这样的函数叫奇函数。

那么，类比偶函新

数的定义同学们能否给奇函数下一个定义呢?引出新定义。

课

三、奇函数的概念

讲

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x,都有

f(-x)＝授－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.

让学生自己动手画图，这两个图象都关于原点对称。观察图象，类比偶函数的探究过程，让学生思考得出自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数这个重要的结论。

正确理解奇函数的定义，以及奇函数的表达方式。

注意：

（1）定义域关于原点对称（任意一个x,都有-x在定义域内）；

从图象直观上判断函数（2）任意一个x都有

f(-x)＝－f(x)。图像关于原点对称

的奇偶性

文字语言：自变量相反时对应的函数值相反

四、奇偶函数的图象的特征：

（1）偶函数的图象关于y轴对称；

（2）奇函数的图象关于原点对称。

五．强调

定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整

体性质，而函数的单调性

是局部性质

通过与单调性的对比进行学习

六、【例题1】判断下列函数的奇偶性

45

（1）f（x）=x

(2)f(x)=x

11

(3)f(x)=x+

(4)f(x)=2

xx

(5)f(x)=x

(6)f(x)= 1x2+x21

教学环节

解：

设计意图

4（1）对于函数f（x）=x，其定义域为R，因为定义域内

的每一个x，都有

4

f(-x)=(x)4=x= f（x）

4所以，函数

f（x）=x为偶函数。

5（2）对于函数f(x)=x，其定义域为R，因为定义域内的

每一个x，都有

通过具体实例的详细分析，让学生清楚判断奇5

f(-x)=(x)5

=－x=

－f（x）

偶性的严格步骤与格式。

5所以，函数

f(x)=x为奇函数。

1

（3）对于函数f(x)=x+

，其定义域为

x

{x|xR且x0}，因为定义域内的每一个x，都有

11

f(-x)=

－x＋=－(x+)=

－f（x）

xx1

所以，函数

f(x)=x+为奇函数。

x

1

(4)根据偶函数的定义，f(x)=2为偶函数。

x

（5）对于函数f(x)=x，其定义域为{x|x0}，因为函

数的定义域关于原点不对称，所以函数f(x)=x既不是奇

函数也不是偶函数。

22（6）对于函数f(x)= 1x+x1，其定义域为

{1,1}，因为定义域内的每一个x，都有

f (x) = 0

所以，f（-x）=f(x)

22故函数f(x)= 1x+x1为偶函数,

又f（-x）=－f(x)

故函数f(x) = 1x2+x21为奇函数。

奇函数

f(x)x

偶函数

f(x)x2

非奇非偶函数

f(x)0

既奇又偶函数

f(x)x1

八．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤

1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

2）确定f(-x)与f(x)的关系；

3）作出相应的结论：

若

f (-x) = f(x)，则

f(x)是偶函数

若

f (-x) =－f(x)，则

f(x)是奇函数

【巩固练习】判断下列函数的奇偶性

通过例子巩固新知识，2x1强化思想

（1）f(x)x21

（2）f(x)

x

（3）f(x)x1

即该函数既是奇函数又是偶函数。

七

归纳函数的奇偶性类别及相应例子

一般地，如果对于函数的定义域内任意一

个x,都有

f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 总结这节课的主要内3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤

容，有利于学生系统的1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

掌握所学内容。

2）确定f(-x)与f(x)的关系；

3）作出相应的结论：

若

f (-x) = f(x)，则

f(x)是偶函数

若

f (-x) =－f(x)，则

f(x)是奇函数

4、判断奇偶性的方法：图象法和定义法

教材P36第1题（3）（4）

作业时学生信息的反馈，教师可以发现学生存在的问题，弥补教学的不足。

归纳1、

偶函数的概念

小结，一般地，如果对于函数的定义域内任意一

强化个x,都有

f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 思想

2、奇函数的概念

作业布置