阅读与思考 函数概念的发展历程教案教学设计

1.3.1 单调性与最大（小）值

第二课时

函数的最大（小）值

整体设计

教学目标

1.

知识与技能

(1)

使学生理解最值是单调性的应用，是在整个定义域上进行研究的；

(2)

使学生学会从本质看数学问题。

2.

过程与方法

（1）

通过新课讲解和例题，渗透数形结合的思想；

（2）

在探究过程中让学生明白数学语言要准确细致。

3.

情感态度与价值观

理性理解最值的有界性，对学生进行凡事要有界的教育。

重点难点

教学重点：函数最值的概念和几何意义。

教学难点：如何求一个函数的最值。

教学过程

导入新课

请学生上台画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点。

①yx1；②yx1,x[1,)

学生画完后，教师请人回答最高点或最低点，并引出课题：函数的最大（小）值。

推进新课

提出问题☞

1.观察下列三个函数y2x1,x[3,)，yx22x和yf(x)的图象，说出它们的共同点。

y2x1,x[3,)

yx22x

yf(x)

讨论结果：三个图象都有最高点。

2.以yx22x的图象为例，记最高点为C，

再在图象上任取一点A，它们的位置关系如何？

讨论结果：点C在点A上方。

3.如何用数学符号描述两点的高低关系？

提示：由形到数，由点到坐标

学生回答：设C(x0,f(x0))，A(x,f(x))，则f(x)f(x0)

此处应注意点A的任意性，保留不等号中的相等关系。

4.在数学中，f(x0)就叫做函数的最大值，请归纳函数最大值M的要求。

讨论结果：①在定义域上；②任意．．f(x)M；③存在．．f(x0)M

5.给出函数最大值的定义。

一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；【有界性】

（2）存在x0I，使得f(x0)M。【存在性】

那么，我们称M是函数yf(x)的最大值。

6.函数最大值的几何意义是什么？

学生回答：函数图象上最高点的纵坐标。

7.如果将yx1,x[1,)中的定义域改成(1,)，函数还有最大值吗？

学生回答：没有。

一起总结：定义域优先；有最高点才有最大值。

【由形到数】

最高点一定是图象上的点【形】

最大值一定是值域中的数【数】

8.请同学根据最大值的定义，类比得到最小值的定义。

学生回答：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)N；

（2）存在x0I，使得f(x0)N。

那么，我们称N是函数yf(x)的最小值。

例题讲解☞

例1 函数yf(x),x[4,7]的图象如下图所示，求它的最大值和最小值．

解：【学生回答】

最大值为3，最小值为2。

如果用不等式表示，应写为f(1.5)f(x)f(3)。

点评：本题主要考察最值的几何意义的应用，在有图象的情况下可以通过找最高点或最低点的纵坐标来解题。不等式则是体现出最值的有界性。

3x1,x[2,6]，求函数的最大值和最小值。

例2

已知函数f(x)x1分析

根据学生目前的水平，无法画出函数的图象，那就要从单调性下手，如果求出单调性，那么最值问题也迎刃而解。

3(x1)223解：f(x)

x1x1【学生回答】

任取x1,x2[2,6]，且x1x2，

f(x1)f(x2)(3222(x2x1)

)(3)x11x21(x11)(x21)

2x1x26,x2x10,(x11)(x21)0

f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

故函数f(x)3x1在[2,6]上是减函数。

x1

从而f(x)maxf(2)5，f(x)minf(6)3.4

点评：本题在证明单调性之前，先对函数式进行变形，一是为了复习分离变量法，二是为了减少计算量。求出单调性之后，可以结合图象下降的趋势，找出最高点和最低点，进而求出函数的最大值和最小值。

变式训练☞

判断函数f(x)x,x（4,17]的单调性并求最值。

【学生上台演板】

解：

任取x1,x2（4，17]，且x1x2，

f(x1)f(x2)x1x2

4x1x217,x1x20

故函数f(x)x在(4,17]上是增函数。

此时函数最大值f(x)maxf(17)17，无最小值。

【教师检查全班，发现在作差变形这一步都存在问题，于是集中讲解变形过程】

f(x1)f(x2)x1x2

x1x2【分子有理化】

x1x2课堂小结

1.最大值和最小值的概念

2.最值的应用

①如果函数有图象，观察最高点和最低点求出最值；

②如果函数无图象，通过证明单调性求出最值。

3.数学思想

①数形结合

②类比