阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计(教案)

教学设计

1.2.1

函数的概念

作者：甄丽霞

整体设计

教学分析

函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学***致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．

在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标

1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．

2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．

重点难点

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．

教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．

课时安排

2课时

教学过程

[来源学科网]

第1课时

作者：甄丽霞

导入新课

1,xQ,问题：已知函数y＝请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？0,xðRQ,先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

(1)给出下列三种对应：(幻灯片) ①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2. 时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B. ②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106

km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．

图1 根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：

f：t→S，t∈A，S∈B. ③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间(t)

恩格尔

系数(y)

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001 53.8

52.9

50.1

49.9

49.9

48.6

46.4

44.5

41.9

39.2

37.9 根据上表，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y的变化范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B. 以上三个对应有什么共同特点？

(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义. (3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？

(4)函数有意义又指什么？

(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？

活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．

解：(1)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．

(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

在研究函数时常会用到区间的概念，设a，b是两个实数，且a＜b，如下表所示：

定义

{x|a≤x≤b}

{x|a＜x＜b}

{x|a≤x＜b}

{x|a＜x≤b}

{x|x≥a}

{x|x＞a}

名称[来源:Z,xx,k.Com]

符号

[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

[a，＋∞)

(a，＋∞)

数轴表示

闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间

{x|x≤a}

{x|x＜a}

R

(－∞，a]

(－∞，a)

(－∞，＋∞)

(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围．

(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．

(5)C⊆B.

应用示例

例题

题已知函数f(x)＝x＋3＋(1)求函数的定义域；

2(2)求f(－3)，f3的值；

(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．

活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变1量的取值范围，故转化为求使x＋3和有意义的自变量的取值范围.x＋3有意义，则xx＋21＋3≥0，有意义，则x＋2≠0，转化为解由x＋3≥0和x＋2≠0组成的不等式组．

x＋22(2)让学生回想f(－3)，f3表示什么含义？f(－3)表示自变量x＝－3时对应的函数值，2222的f表示自变量x＝时对应的函数值．分别将－3，代入函数的对应法则中得f(－3)，f3333值．

(3)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值，f(a－1)表示自变量x＝a－1时对应的函数值．分别将a，a－1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a－1)的值．

x＋3≥0，解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得－3≤x＜－2或x＞x＋2≠0，1，

x＋2

－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．

(2)f(－3)＝－3＋3＋21＝－1；f3＝－3＋221333＋3＋＝＋. 3238＋23(3)∵a＞0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f(a)，f(a－1)有意义．

则f(a)＝a＋3＋111；f(a－1)＝a－1＋3＋＝a＋2＋. a＋2a－1＋2a＋1点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．

f(x)是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f(x)没有什么意义．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等等．

符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系：当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m对应的函数值，是一个常量．

已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．

(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.

变式训练

(x＋1)21．函数y＝－1－x的定义域为__________．

x＋1答案：{x|x≤1，且x≠－1}．

点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y＝x＋1－1－x，得函数的定义域为{x|x≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式．

2．若f(x)＝等于(

) A．M

B．N

C．∁UM D．∁UN

解析：由题意得M＝{x|x＞0}，N＝R，则M∩N＝{x|x＞0}＝M. 答案：A 3．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数f(2x－1)的定义域是________．

解析：要使函数f(2x－1)有意义，自变量x的取值需满足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1. 答案：[0,1] 1的定义域为M，g(x)＝|x|的定义域为N，令全集U＝R，则M∩Nx

知能训练

f2(1)＋f(2)f2(2)＋f(4)f2(3)＋f(6)1．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则＋＋f(1)f(3)f(5)f2(4)＋f(8)f2(5)＋f(10)＋＋＝________. f(7)f(9)解析：∵f(p＋q)＝f(p)f(q)，∴f(x＋x)＝f(x)f(x)，即f2(x)＝f(2x)．

令q＝1，得f(p＋1)＝f(p)f(1)，∴f(p＋1)＝f(1)＝3. f(p)[来源学科网Z,X,X,K]

2f(2)2f(4)2f(6)2f(8)2f(10)∴原式＝＋＋＋＋＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30. f(1)f(3)f(5)f(7)f(9)答案：30 12．若f(x)＝的定义域为A，g(x)＝f(x＋1)－f(x)的定义域为B，那么(

) xA．A∪B＝B

B．AB

C．A⊆B

D．A∩B＝

解析：由题意得A＝{x|x≠0}，B＝{x|x≠0，且x≠－1}．则A∪B＝A，则A错；A∩B

＝B，则D错；由于B答案：B A，则C错，B正确．

拓展提升

问题：已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R. (1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；

(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．

活动：让学生探求f(x)－f(－x)的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．

解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；

f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；

f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0. (2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：

由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．

∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)．

课堂小结

本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．

作业

课本习题1.2A组

1,5. 设计感想

本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．

第2课时

作者：甄丽霞

复习

1．函数的概念．

2．函数的定义域的求法．

导入新课

思路1．当实数a，b的符号相同，绝对值相等时，实数a＝b；当集合A，B中元素完

全相同时，集合A＝B；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．

x2思路2．我们学习了函数的概念，y＝x与y＝是同一个函数吗？这就是本节课学习的x内容，引出课题：函数相等．

推进新课

新知探究

提出问题

①指出函数y＝x＋1的构成要素有几部分？

②一个函数的构成要素有几部分？

③分别写出函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的定义域和对应关系，并比较异同. ④函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？

⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？

讨论结果：①函数y＝x＋1的构成要素为：定义域R，对应关系x→x＋1，值域是R. ②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．

③定义域和对应关系分别相同．

④值域相同．

⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．

应用示例

例题

题下列函数中哪个与函数y＝x相等？

x2(1)y＝(x)；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝. x2332活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．

解：函数y＝x的定义域是R，对应关系是x→x. (1)∵函数y＝(x)2的定义域是[0，＋∞)，

∴函数y＝(x)2与函数y＝x的定义域不相同，

∴函数y＝(x)2与函数y＝x不相等．

3(2)∵函数y＝x3的定义域是R，[来源学科网ZXXK]

3∴函数y＝x3与函数y＝x的定义域相同．

3又∵y＝x3＝x，

3∴函数y＝x3与函数y＝x的对应关系也相同．

3∴函数y＝x3与函数y＝x相等．

(3)∵函数y＝x2的定义域是R，

∴函数y＝x2与函数y＝x的定义域相同．

又∵y＝x2＝|x|，

∴函数y＝x2与函数y＝x的对应关系不相同．

∴函数y＝x2与函数y＝x不相等．

x2(4)∵函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，

xx2∴函数y＝与函数y＝x的定义域不相同，

xx2∴函数y＝与函数y＝x不相等．

x点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否则不是同一个函数.

变式训练

判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由．

①y＝x－1，x∈R与y＝x－1，x∈N；

②y＝x2－4与y＝x－2·x＋2；

11③y＝1＋与u＝1＋；

xx④y＝x2与y＝xx2；

⑤y＝2|x|与y＝2x,x0,

2x,x0.是同一个函数的是________．(把是同一个函数的序号填上即可) 解析：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可．

①前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不是同一个函数；

②前者的定义域是{x|x≥2，或x≤－2}，后者的定义域是{x|x≥2}，它们的定义域不同，故不是同一个函数；

③定义域相同均为非零实数，对应法则相同都是自变量取倒数后加1，那么值域必相同，故是同一个函数；

④定义域是相同的，但对应法则不同，故不是同一个函数；

2x,x0,⑤函数y＝2|x|＝则定义域和对应法则均相同，那么值域必相同，故2x,x0,是同一个函数．

故填③⑤. 答案：③⑤

知能训练

1．下列给出的四个图形中，是函数图象的是(

)

图2

A．①

B．①③④

C．①②③

D．③④

答案：B 2．函数y＝f(x)的定义域是R，值域是[1,2]，则函数y＝f(2x－1)的值域是________．

答案：[1,2][来源学§科§网]

3．下列各组函数是同一个函数的有________．

1①f(x)＝x3，g(x)＝xx；②f(x)＝x0，g(x)＝0；

x－2－2③f(x)＝，g(u)＝；④f(x)＝－x2＋2x，g(u)＝－u2＋2u. xu答案：②③④

拓展提升

问题：函数y＝f(x)的图象与直线x＝m有几个交点？

探究：设函数y＝f(x)定义域是D，

当m∈D时，根据函数的定义知f(m)唯一，

则函数y＝f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m，f(m))，

即此时函数y＝f(x)的图象与直线x＝m仅有一个交点；

当mD时，根据函数的定义知f(m)不存在，

则函数y＝f(x)的图象上横坐标为m的点不存在，

即此时函数y＝f(x)的图象与直线x＝m没有交点．

综上所得，函数y＝f(x)的图象与直线x＝m有交点时仅有一个，或没有交点．

课堂小结

(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素；

(2)判断两个函数是否是同一个函数．

作业

1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是(

)

图3 答案：B 2．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．

解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系．

答案：增加

函数

3．函数y＝x2与S＝t2是同一函数吗？

答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y＝x2与S＝t2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的．

设计感想

本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否则事倍功半．

备课资料

【备选例题】

1【例1】已知函数f(x)＝，则函数f[f(x)]的定义域是________．

1＋x11解析：∵f(x)＝，∴x≠－1.∴f[f(x)]＝f1＋x＝1＋x. 11＋1＋x1x＋21∴1＋≠0，即≠0.∴x≠－2.∴f[f(x)]的定义域为{x|x≠－2，且x≠－1}．

1＋xx＋1答案：{x|x≠－2，且x≠－1} 【例2】已知函数f(2x＋3)的定义域是[－4,5)，求函数f(2x－3)的定义域．

解：由函数f(2x＋3)的定义域得函数f(x)的定义域，从而求得函数f(2x－3)的定义域．设2x＋3＝t，当x∈[－4,5)时，有t∈[－5,13)，则函数f(t)的定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x－3＜13，得－1≤x＜8，即函数f(2x－3)的定义域是[－1,8)．

【知识拓展】

函数的传统定义和近代定义的比较

函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，

只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．

至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制．后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgn x＝1，0，－1，

x>0，x＝0，x<0，用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义．由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义．