阅读与思考 函数概念的发展历程ppt配套的教学设计方案

函数的概念

一、教学内容解析

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。[1] “新课标”内容标准要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。[1] 据此，本节课教学内容内涵应为函数基于集合与对应语言的概念之理解和运用，教学内容反映了对应思想、函数思想。本节教学内容中，函数三要素属于事实性知识、函数的定义属于概念性知识、求定义域及判断函数相等属于程序性知识、认识到自己的认知需要不断发展并激励自己不断求知属于元认知知识。为此本节课设定的教学重点是“函数定义的形成”。函数知识的学习和函数概念的认知是一个不断反复、循序渐进的过程，本节课教学内容的上位知识为初中数学已经学习的函数概念及具体函数形式；下位知识则是函数表示法、指数及对数函数等知识。

本节课教学中，需要从生活实例出发，引导学生经历基于集合及对应语言的函数概念形成过程，然后利用这一概念分析具体函数形式，体会概念应用的同时进一步加深对概念的理解。这一过程体现了数学研究“特殊——一般——特殊”之路径及数学知识应用之价值。

二、学生学情分析

在之前的学习中，学生已经初步具备了生活中函数实例的基本经验，能简单运算有关一次、二次和反比例函数模型的问题，初步体会了归纳能力及基于变量关系认知的函数思想，通过“集合”知识的学习，对集合思想的认识也日渐清晰。以上知识为函数概念学习提供了认知基础。同时，这一年龄段的学生普遍思维活跃、求知欲较强、自我表现欲望较强。以上因素为本节课教学提供了非认知基础。

理解高中数学“执牛耳者”——函数概念，需要学生掌握的知识、掌握的技能和具备的情绪能力比较复杂。学生需要具备丰富的生活中观察函数关系的经验、需要能较熟练的操作二次函数运算、需要较强的抽象思维能力，同时还需要坚韧的品质和稳定的意志力。

上述需求与学生既有学习条件相比，高一新生在生活认知、二次代数式运算能力、概括归纳能力方面还有欠缺，意志力和情绪稳定性维度也显不足。这些欠缺和不足中，生活认知的不足可以通过教师提供生活实例及小组讨论方式弥补、二次函数运算能力可以通过课前预

习提醒复习学生自主化解、意志力和情绪稳定性维度的欠缺可以通过课堂鼓励和分解教学难度得到初步化解，抽象思维能力的不足是最难化解的难题。据此本节课设定的教学难点为“函数符号yf(x)的理解，函数概念的整体性认识”。

三、教学目标: (一)知识与技能

理解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素. （二）过程与方法

通过三个实例共性的分析到函数概念的形成，再对三个实例进行拓展，让学生对函数概念进行辨析，体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，渗透了归纳推理，实现了感性认识到理性认识的升华. （三）情感、态度与价值观

通过从实际问题中抽象概括函数的概念，培养学生的抽象概括能力，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，感受数学的抽象性和简洁美.

四、教学重点与难点：

（一）教学重点

体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数. （二）教学难点

函数概念的理解及符号“yf(x)”的含义. 五、教学过程分析

（1）引入问题

我们在初中已经学习了函数，就函数这个内容，你还有哪些印象呢？

问题1：根据初中学习的函数的概念，你能举出几个函数的具体例子吗？（请2名同学说出他们举的例子）

在学生回答基础上追问：你凭什么认为你举的是一个函数的例子？

设计意图：通过具体实例，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望。了解学生在初中对函数概念的认知程度，让学生感受函数概念的本质，即对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。以此问题来刺激学生大脑，活跃课堂，并培养学生的逻辑思维能力。

教师举例（课本15页）

（2）创设情境，形成概念

实例分析1、一枚炮弹发射后，经过s落到地面击中目标，炮弹的射高为m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是htt，那么炮弹距离地面的高度h是时间t的函数吗？为什么？

学生：对于任一个给定的时间t，都有唯一确定的高度h跟它相对应，因此h是t的函数。

教师：好，那我给你一个具体的时间，你怎么得到与之相对应的高度？



学生：通过htt。

教师：那你能说出ts,s,s时对应的高度h吗？

学生：由于炮弹在s时已经落到地面爆炸了，ts时hm,ts时hm，因此在ts时没有高度跟它对应了。

教师：那你还能说任给一个时间t，都有唯一确定的高度h与之对应吗？

学生：对于s~s之间的每一个时间t，通过htt，都有唯一确定的高度h跟它相对应。

教师：s~s是我们生活中的语言，其实我们可以用集合表示这个范围，你能说出这个集合吗？

学生：At|t

教师：那么高度h也应该有一个范围，你能用集合表示吗？



学生：Bh|h

教师：那我们可以用集合的语言重新表述这个实例中的对应关系，谁来说一说。

在学生描述的基础上教师规范解答：对于集合A中的每一个时间，集合B中都有它的倍减去它平方的倍与它对应。

教师：那么用集合的语言表述的这个实例中对应关系和你刚才判断炮弹距离地面的高度h是时间t的函数所用的表述方式有什么不同吗？那么它们的对应关系变了吗？

设计意图：本例题具有承上启下的作用：既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合的语言刻画函数概念的本质做好伏笔。此外，本例题符合学生的认知规律，化抽象为直观，学生容易理解。

实例分析2、近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图显示了南极上空臭氧层空洞面积从1979~2001年的变化情况。那么臭氧层空洞面积s是时间t的函数吗？为什么？

学生：面积s是时间t的函数，因为对于每一个确定的t值，都有唯一确定的一个面积s跟它对应。

教师：好，那我给你一个具体的时间t，你怎么得到与之相对应的面积？

学生：根据图像。

教师：那你能说出对应的面积吗？

学生：20。

教师：前面实例中的对应关系是用解析式表示的，那这个实例中的对应关系也得用一个解析式表示吗？

学生：不用。

教师：那我们如何记录这个对应关系呢？

由学生思考，教师启发得出用图像记录这个对应关系。

教师：好，那是不是对任何一个时间，通过图像，都有面积跟它对应呢？

学生：不是，对于~之间的每一个时间，都有唯一的面积跟它相对应。

教师：那好，咱们用集合来表示这个范围。

。

学生：At|t

教师：同样的，那面积s也有一个范围，怎么用集合表示？

学生：Bs|s

教师：你能用集合的语言重新表述一下这个对应关系吗？

学生讨论、交流。

教师：那用集合的语言表述的这个实例的对应关系和你刚才判断臭氧层空洞面积s是时间t的函数所用的表述方式有何不同呢？那么时间t到面积s的对应关系变化了吗？

学生思考，交流意见。

教师：那么集合B可以是Bs|s吗？

学生：可以。

教师：那集合B可以是s|s吗？为什么？

设计意图：让学生参与课堂,体验图像是一种记录两个变量之间的对应关系的语言，进一步提高学生用数学语言表达问题的能力。

实例分析3、国际上常用恩格尔系数（恩格尔系数食物支出金额）反映一个国家总支出金额人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表给出“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况。那么恩格尔系数是时间的函数吗？你能仿照前面的两个实例来描述恩格尔系数和时间（年）的关系吗？

时间

（年）

恩格尔系53.8

数（％）

52.9

50.1

49.9

49.9

48.6

46.4

44.5

41.9

39.2

37.9

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

活动：同桌两人为一组，交流讨论（用时大约2分钟），从中选一名代表来描述恩格尔系数和时间（年）的关系。

教师：那你能说出1999对应的恩格尔系数吗？

学生：.。

教师：那么这个对应关系得用一个解析式来表示吗？

学生：不用。

教师：那我们该如何记录这个对应关系呢？

经过学生思考、提出意见后统一认识：用表格记录这个对应关系。

设计意图：本例题从生活中的经济问题出发，通过学生思考、探索，进一步认识到对应关系也可以用表格来记录。

问题3：分析这三个实例，它们有哪些共同属性呢？谁来说说。

设计意图：从特殊到一般，归纳得出三个案例的共同属性：对集合A的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的一个数y与它对应，即集合A到集合B有一种对应。比较三个案例，体会用解析式、图像、表格刻画变量之间的对应关系，让学生感受从本质上本节课学习的函数概念和初中函数的概念是一致的，但初中是用两个变量间的依赖关系描述函数，而高中是用两个集合元素之间的对应关系来描述函数概念，让学生体验数学发现和创造的历程。这样做，不仅符合学生的认知规律，而且符合“先过程后对象”的认知顺序。

教师：我们学习过很多的数学概念，当我们认识到概念的本质属性以后，我们并没有停止，这些数学概念往往都沉淀成一个数学符号。就如某个锐角的正弦，我们发现不管在那个直角三角形中，只要这个角的大小一定，那么这个角的对边比斜边都不变，我们把这个定值称为这个锐角的正弦，但是我们并没有因此停下来，我们用sinA来表示这个角的正弦。那我们只要看到sinA，就知道它表示直角三角形中这个锐角的对边比斜边。那么这三个实例的共同属性是不是也可以用一个符号来表示？

f:AB

老师总结板书：

xyf(x)

设计意图：数学中的概念通常是用符号来表示的。学生总结三个实例的共同属性，能够认识到函数的本质，这时及时地引进数学符号，不仅可以引导学生把符号和它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的本质特征，从而可以提高学生的抽象能力、概括能力。

建立函数概念：

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域。

（3）质疑解惑，剖析概念

问题5：那么我们这节课学习的函数的概念中，有哪些关键词呢？

再次回到三个实例中，分别要求学生说出实例中的具体函数值。

设计意图：由学生指出概念中的关键词，说出三个案例的具体函数值，从抽象到具体，从一般到特殊，挖掘背后的思维过程，暴露学生对函数概念的本质的理解情况。

思考辨析：下列哪些y是x的函数，为什么？

()yxx；

()y(xR)

()y()yＯxOx

(5)某位学生的几次考试成绩情况如下：

序号数x

成绩y

1

90

2

93

3

90

4

缺考

5

98

6

92

设计意图：对函数概念正例与反例的辨析，通过学生比较、分析、概括，可以使概念的关键属性变得清晰，使实例成为理解概念的一种思维载体。

（4）讨论研究，示范巩固：

例、已知函数f(x)x()求函数的定义域；x



（）求f(),f()的值；

（）当a时，求f(a),f(a)的值。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例。如果只给出解析式yf(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

解：()使根式x有意义的实数x的集合是x|x

使分式有意义的实数x的集合是x|x

x所以，函数的定义域就是x|xx|xx|x,且x.

;f().()因为a,所以f(a),f(a)有意义.()f()f(a)a;a(a)f(a)a

a.

a

设计意图:学生能求出简单函数的定义域，培养学生的数学应用意识，再次加深对函数概念的理解。

（5）总结反思，提高认识

课堂小结：如果你的同学不明白函数的概念，通过本节课的学习，你觉得你怎么解释他就能很快明白？

设计意图：巩固函数概念。

（6）作业设计：

教材P19页练习第1,2题，P24页习题1.2第4题。