4.2 弧长教案设计（一等奖）

4.2弧长 上海市继光初级中学

王沁逸

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节教材是上教版初中数学六年级第一学期第4章第2节的内容，是初中数学几何计算方面的重要内容之一。是在学习了圆周长计算的基础上，对弧长的计算公式的探索，教材渗透了转化的思维方法和从特殊到一般的数学思想，初次尝试了利用控制变量的方法，讨论几个变量之间存在的关系，也为之后的扇形面积公式的推导奠定了基础。

2、学情分析

从学生认知状况来说，在此之前已经学习了圆周长的计算，对圆的周长已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但是在公式推导的过程中，学生第一次接触到利用控制变量的方法研究弧长、半径和圆心角几个变量之间的关系，对于这个相对抽象的思维方式学生可能会遇到一定的困难，本节课中渗透的转化这一数学思想方法，对学生而言也比较新鲜，所以教学中应该把抽象思维具体化，利用多媒体课件的优势，深入浅出的分析。

3、教学重难点

教学重点：掌握弧长的计算公式，进行有关计算。

教学难点：通过观察,操作,得出弧长与圆心角、半径的关系,导出弧长的计算公式

二、

教学目标分析

教学目标：

1. 通过观察,操作,得出弧长与圆心角、半径的关系,导出弧长的计算公式。

2.

掌握弧长的公式,会用公式进行简单的计算。

3. 经历公式推导的过程,逐步形成“特殊到一般”的思维策略和转化的数学思想。

三、

教学过程分析

教学环节：

以秒针末端小红点走过

的路程引

入，埋下伏

笔，并利用

三色陀螺的颜色配比抛

出问题，激

发学生的求知欲。

给出弧长、圆心角的概念并配合辨析练习，加强对新授概念的理解和掌握。

利用多媒体课件，将控制变量法具体化，制作动画效果，生动展现弧长和圆心角、1 径之间半的关系。

设计问题串，从特殊圆心角所对的弧占圆周长几分之几入手，得到n度圆心角所对弧长公式。

设计三道由浅入深的例题，巩固公式运用，尝试对实际问题的解决（最后回到引入，解决问题，首尾呼应）

一、创设情景，引出新知

已知：秒针长度为5厘米，针尖处有一个小红点

（1）请问，秒针走一分钟，小红点运动了多少路程？

（2）请问，秒针走30秒，小红点运动了多少路程？

（3）请问，秒针走任意时间（一分钟内），小红点运动的路程都可以计算吗？怎么算？

设计意图：从学生已有的知识体系出发，圆周长公式是本节课深入研究和探索弧长公式的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境，第（1）小题转化为考察圆的周长求解，（2）（3）小题为新课埋下伏笔，抛出问题，等待解决。

观察：给出一个三色陀螺，它有三个不同颜色的圆片，转动陀螺，改变三种颜色的配比时，就会看到不同的色彩。

让学生观察三色陀螺，具体画出它们的颜色，圆上两点之间的部分，就是弧，给出弧长、圆心角的概念。

设计意图：利用学生熟悉的陀螺创设情境，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望，使学生产生积极的学习动力，给出弧长和圆心角的概念。

概念辨析，巩固练习: 下列图形中，是圆心角的是__________________________

2 圆心角和弧的概念

所对的弧

圆心角

O B A 圆心角

所对的弧

1 2 3 6

设计意图：安排小练习，巩固圆心角的概念，给出一些反例，让学生更好的进行辨析和理解。

思考：调节陀螺，观察弧长和它所对的圆心角的大小变化情况，让学生发现圆心角和所对弧长的关系。假设陀螺变大，再让学生观察在圆心角不变的情况下，弧长的变化。总结提炼出弧长和圆心角、半径有关。

判断：圆心角越大，弧长越大。是否正确？为什么？

经过我们的观察和讨论，我们发现弧长和圆心角、半径都有一定的关系，那么今天我们就一起来探索一下，弧长如何来计算。

设计意图：利用小问题串引导学生,借助简单的图形运动，直观的让学生发现：弧长和圆心角、半径有关，激发学生的学习积极性，为推导出弧长公式做准备。

二、提出问题，引发思考

提出问题

思考、讨论：

1、圆的周长是几度圆心角所对的弧长？（说明圆的周长也可以看成是一段弧长，为弧长和周长之间的关系埋下伏笔。）

2、完成表格：

图示

（画草图）

120

90

60

圆心角

圆心角是圆周角的几分之几

弧长是圆周长的几分之几

弧长

3

设计意图：从特殊角入手，让学生通过对特殊角所对弧长的求解，感悟弧长和周长之间的关系，为之后公式的推导奠定基础。

2、1度的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？

3、n度的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？

发现规律

1°圆心角所对的弧长=

240

111C2rr. 360360180n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；

n°圆心角所对的弧长=.nnnC2rr

360360180（学生）归纳结论：若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则

（弧长公式）：lnr

180设计意图：放手学生观察分析、独立思考、小组交流，体会从特殊到一般，引导学生自主归纳出弧长的公式

。

三、例题分析，加深理解

例题1、一段圆弧所在圆的半径是60厘米，这条弧所对的圆心角是120°，求该圆弧的弧长。

解：由弧长公式得

ln120r6012.56（厘米）. 180180答：该圆弧的弧长是12.56厘米. 设计意图：利用一道简单的公式代入题，让学生熟悉公式。

评价分析：关注学生对新授弧长公式的识记情况。

配套练习：求下列各图形中的弧长。

设计意图：安排两小题的练习，第一小题是直接找到已知条件代入公式，模仿例题应用；第

4 45°

3 120°

18

二小题的圆心角需要学生转化，一种方法可以求出所求弧长所对的圆心角，另一种方法可以利用圆周长减去120°所对的弧，方法不唯一，给学生发挥的空间。

评价分析：第（1）小题关注学生对新授弧长公式的识记情况和对例题讲解的理解情况。

第（2）小题关注学生是否能辨析所求弧长所对的圆心角并非条件直接给出的120°，而是需转化求出圆心角再计算，或者也可将题目转化为圆周长减去120°所对的弧进行求解。

例题2、如图，△ABC的三条边长都是27毫米，分别以A,B,C三点为圆心，27毫米为半径画弧，求这三条弧长的和。

解

弧AC，弧AB，弧BC所对的圆心角都是60°，由弧长公式得：

A n60r3.142728.26（mm）

1801803l328.2684.78(mm) l答：三段弧长的和是84.78毫米.

评价分析：关注学生能否根据已知条件，建立新旧知识之间的联系，将等边三角形的内角条件转化为所求弧的圆心角，进行解答。

例题3、工厂有一台机器的皮带轮坏了，需要更换皮带，如图所示：BE=AD=25cm，小圆弧的半径为5，大圆弧的半径为20，求皮带至少要多长？

A C 120°

E F 120°

D B B C 设计意图：设计两题略带一点应用类，让学生尝试将弧长公式应用于实际问题中。

评价分析：关注学生将实际问题抽象为数学问题的过程，将实际问题数学化。

布置作业

练习册：习题4.2 分层作业

5

设计说明：

在数学学习中，弧长的计算运用的不是特别频繁，经常发现学生遇到涉及有关弧长计算内容时，常常因弧长公式的遗忘而影响了解题。在这节课的教学中，该如何教才能让学生真正的理解弧长公式的来源并对公式进行正确地运用就是关键。我希望学生能从这一节的学习中真正理解公式的由来过程，并体会从特殊到一般的数学思想方法。

基于这一目标，我将这节课主要设计为以下三大部分：

第一部分提出问题一：弧的长度与哪些因素有关？

在解决这一问题前，首先告知学生：要寻找弧长的计算公式，我们就必须找到与弧的长度有关的因素。

第二部分提出问题二：弧的长度与这些因素有怎样的关系？即弧长公式等于什么？

第三部分提出问题三：弧长公式有哪些作用？

解决这三大问题的途径与方法：

①

首先在课前让学生自己制作完成三色陀螺。一方面可使学生对三色陀螺的构成有直接的了解，对给出的弧、圆心角有直观的理解；另一方面可使学生自行调节陀螺，观察弧长和它所对的圆心角的大小关系及弧长与圆的周长的关系。即最终能得出结论：弧长和圆心角及半径有关。

②

在本节课上让学生充分体验由特殊到一般是数学的基本思维策略，理解了nº圆心角所对的弧长是圆周长的n，并由已知圆周长计算公式，推导出弧长的计算公式，理解360了公式的形成过程，而不需死记硬背公式结论；

对于理解、运用方面，首先运用判断题的形式来考核学生对概念的理解；而对于弧长公式，则要求学生能灵活运用，即已知三个量中的任意两个量，就可以通过弧长公式求出第三个量；对于实际应用，应让学生根据条件学会分析，得出正确的结论。

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