阅读与思考 函数概念的发展历程教学实录与评析

§1.2.1 函数的发展历程（一）

正直中学中学

张之科

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》（人教A版）《函数发展的历程》共3课时，本节课是第1课时。

托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花”。

生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。

函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学”。

二、学生学习情况分析

函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：（一）初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数；（二）高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学习典型的对、指、幂和三解函数；（三）高中用导数工具研究函数的单调性和最值。

1．有利条件

现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。

初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。

2．不利条件

用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。

三、教学目标分析

课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数概念发展的过程，激发学生兴趣

.

1．知识与能力目标：

⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性；

⑵理解函数的三要素的含义及其相互关系；

⑶会求简单函数的定义域和值域

2．过程与方法目标：

⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型；

⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用. 3．情感、态度与价值观目标：

感受生活中的数学，感悟事物之间发展变化关系。

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四、教学重点、难点分析

1．教学重点：对函数概念变化的理解，现代函数观点的看法；

重点依据：初中是从变量的角度来定义函数，高中是用集合与对应的语言来刻画函数。二者反映的本质是一致的，即“函数是一种对应关系”。

但是，初中定义并未完全揭示出函数概念的本质，对y1这样的函数用运动变化的观点也很难解释。在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个数集之间的一种对应关系，按照这种观点，使我们对函数概念有了更深一层的认识，也很容易说明y1这函数表达式。因此，分析两种函数概念的关系，让学生融会贯通地理解函数的概念应为本节课的重点。

突出重点：重点的突出依赖于对函数概念本质属性的把握，使学生通过表面的语言描述抓住概念的精髓。

2．教学难点：第一：通过概念的发展，理解事物的变化规律；第二：符号“y=f(x)”的含义的理解. 难点依据：数学语言的抽象概括难度较大，对符号y=f(x)的理解会受到以前知识的负迁移。

突破难点：难点的突破要依托丰富的实例，从集合与对应的角度恰当地引导，而对抽象符号的理解则要结合函数的三要素和小例子进行说明。

五、教法与学法分析

1．教法分析

本节课我主要采用教师导学法、知识迁移法和知识对比法，从学生熟悉的丰富实例出发，关注学生的原有的知识基础，注重概念的形成过程，从初中的函数概念自然过度到函数的近代定我。

2．学法分析

在教学过程中我注意在教学中引导学生用模型法分析函数问题、通过自主学习法总结“区间”的知识。

六、教学手段分析

PPT课件

七、

教学过程分析

教学环节

设计意图

从初中的函数概念（一）创设情境，引出概念

入手，与学生原有知识1．将函数概念从出现，到出现定义

数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是对接。事实上，课堂上解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发很多学生都不能较准确展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间地回忆起这个初中的函的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数数概念。反映了学生并也为研究变量数学必不可少的概念函数（function）一词，始用于1692未抓住函数概念的“灵。

年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。魂”因此，我首先引导学而f(x)则由欧拉（Euler）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译生将初中函数概念的进的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他行概括表述——函数是自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的两个变量之间的一种对应关系。有什么对应要作用。

都有唯函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断求呢？每一个x，地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。

一的y和它对应。

牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念

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23x,x,x,…）的雏形。最初，函数是表示代数上的幂（，1673年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。

2．阅读课本引例，体会函数概念发展的思想

三个引例的作用三：

⑴体会函数的模型化思想，

⑵感知三种表示方法，全面认识函数；

⑶引导学生从集合与对应的角度分析这三个函数模型，体会对应果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些关系的重要性和各种表变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称现形式，完善函数的近代定义。

为后面变量的函数。”

18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

十九世纪函数概念──对应关系下的函数

1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。

（二）准确定义，分析疑点

1．函数概念

由于与初中函数概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，实现了很好的对接，概使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的念的理解已不是难点，数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一此时对函数符号的理解个函数．

记作：

y=f(x)，x∈A．

又上升为主要难点。

定义域：自变量x的取值集合，即集合A.

因此，这里着首剖析了概念的内涵与外延，值

域：函数值y取值集合，通常值域{y|yf(x)}B(这而值域是B集合的子集里先让学生记下，下一节课再解释)．

这一难点留至下一课2．概念剖析

时，以突出这节课的重①构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

点，分散难点。

1718年约翰·贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如

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②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x．

③“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

（三）介绍区间，自学归纳

向学生指明区间是表1．由学生自己总结函数的变化；

示“数轴上连续实数”

的一种特殊集合，为了简便而引入的。

（四）总结

注意了梯度的拉开和综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技与生活实践的联系，带术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断着理论重新审视生活中得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的原型；同时，评价的的。

设计还考虑了基础性、亲和力与发展能力并重的原则。

八、教学设计说明

本节课的设计紧紧围绕函数的概念这一核心，设计时注意了以下两点：

第一，注重在学生已有的知识基础上引出新知，从初中的函数定义自然过渡到高中的函数定义，再从集合与对应的角度重新分析初中的几种常见函数，温故知新，逻旋上升。

第二，注重理解，揭示函数概念的本质，抓住函数概念的灵魂，培养学生的概括能力。

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