阅读与思考 函数概念的发展历程国家优质课一等奖

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课时跟踪检测（二十九）

数列的概念与简单表示法

(一)普通高中适用作业

A级——基础小题练熟练快

1．已知数列1,2，7，10，13，…，则219在这个数列中的项数是(

) A．16

C．26

B．24 D．28 解析：选C

因为a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，…，所以an＝3n－2.令an＝3n－2＝219＝76，解得n＝26. 2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝(

) A．10

C．－5

B．15 D．20 解析：选D

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20. 3．(2017·河南许昌二模)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(

) A．31

C．61

B．32 D．62 解析：选A

∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，

∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31. 4．(2018·云南检测)设数列{an}的通项公式为an＝n2－bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(

) A．(－∞，－1]

C．(－∞，3)

B．(－∞，2] 9－∞，

D.2解析：选C

因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，所以b<2n＋1(n∈N*)，所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3. 5．(2018·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有1an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(

) 21A.

321C.

41B.

161D.

21解析：选A

∵数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，∴a2＝a1a12111＝，a3＝a1·a2＝，∴a5＝a3·a2＝. 4832

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16．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(

) 2A．5

9C.

21解析：选B

∵an＋an＋1＝，a2＝2，

23－2，n为奇数，∴an＝

2，

n为偶数.37－＋10×2＝. ∴S21＝11×227．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，

当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，

4，n＝1，因此an＝

2n＋1，n≥2.4，n＝1，答案：

2n＋1，n≥27B.

213D.

2

1151329618．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．

248163264解析：各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母2－3少3，且第1项可变为－，

221－322－323－324－3故原数列可变为－1，2，－3，4，…

22222n－3故其通项公式为an＝(－1)·n，n∈N*. 2n2n－3答案：an＝(－1)·n，n∈N*

2n9．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．

解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，

得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，

令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，

则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－1

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10．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案：28 B级——中档题目练通抓牢

11．若a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)，则an>100时，n的最小值为(

) 2A．3

C．5

B．4 D．6 1解析：选C

由a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)得，

21a2＝4a1＋1＝4×＋1＝3，a3＝4a2＋1＝4×3＋1＝13，

2a4＝4a3＋1＝4×13＋1＝53，a5＝4a4＋1＝4×53＋1＝213>100. nn＋12．(2018·咸阳模拟)已知正项数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝(n∈N*)，则数2列{an}的通项公式为(

) A．an＝n

nC．an＝

2解析：选B

∵a1＋a2＋…＋an＝∴a1＋a2＋…＋an－1＝两式相减得an＝B．an＝n2

n2D．an＝

2nn＋1，

2nn－1(n≥2)，

2nn＋1nn－1－＝n(n≥2)，

22∴an＝n2(n≥2)．

1×2又当n＝1时，a1＝＝1，a1＝1，适合上式，

2∴an＝n2，n∈N*.故选B. 3．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(

) A．6

C．8

B．7 D．9 解析：选B

∵a1＝19，an＋1－an＝－3，

∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，

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∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n. 设{an}的前k项和数值最大，

ak≥0，22－3k≥0，*则有k∈N，∴

ak＋1≤022－3k＋1≤0，

1922∴≤k≤，

33∵k∈N*，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7. 4．在数列{an}中，an>0，且前n项和Sn满足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

解析：当n＝1时，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1；

当n≥2时，由4Sn＝(an＋1)2＝a2n＋2an＋1，

得4Sn－1＝a2n－1＋2an－1＋1，

2两式相减得4Sn－4Sn－1＝a2n－an－1＋2an－2an－1＝4an，

整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，

因为an>0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，

又a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 答案：an＝2n－1 5.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．

a1

a2

a3

a4

a5

a6

……

解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×10＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 2答案：97 6．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3. 59n－2－，

因为an＝n2－5n＋4＝24

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由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2. (2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作k3是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3. 22所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．

7．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

4(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}an的变号数，求数列{cn}的变号数．

解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，

所以a＝0或a＝4. 又由a>0得a＝4，

所以f(x)＝x2－4x＋4. 所以Sn＝n2－4n＋4. 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5. 1，n＝1，所以an＝

2n－5，n≥2.

－3，n＝1，(2)由题意得cn＝

41－，n≥2.2n－5由cn＝1－4可知，当n≥5时，恒有cn>0. 2n－5

113又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，

357即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，

所以数列{cn}的变号数为3. C级——重难题目自主选做

9n*1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)(n∈N)，则数列{an}的最大项是(

) 10A．a6或a7

C．a8或a9

B．a7或a8

D．a7

7－n9n＋19n＝9n·解析：选B

因为an＋1－an＝(n＋3)－(n＋2)10101010，当n<7时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝7时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>7时，an＋1－an<0，即

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an＋1a9>a10>…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，即a7或a8.故选B. n22．(2018·成都诊断)在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________. n－1ann2n2解析：由题意知＝＝，

an－1n2－1n－1n＋1a2a3an所以an＝a1×××…×

a1a2an－1n22232＝1×2××…×2

2－132－1n－122×32×42×…×n2＝

2－1×2＋1×3－1×3＋1×4－1×4＋1×…×n－1×n＋122×32×42×…×n22n＝＝. 1×3×2×4×3×5×…×n－1×n＋1n＋12n答案：

n＋1