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函数概念的形成与发展

在封建社会里，由于生产水平不高，人们对数学的需要停留在常量数学范围内。到了十六、十七世纪，随着资本主义国家的兴起，机械、天文、航海和弹道学的大量实践活动纷纷对数学提出新的要求，常量数学已经远远不能满足客观需要了。加上当时欧洲的一些资本主义国家，为了积累资本，不满足于剥削本国的劳动人民，竭力发动侵略战争，向外扩张，掠夺殖民地。要向海外发动侵略战争，首先需要发展造船、军火等工业以及航海事业。据说在十八世纪，法国海军之所以强大，就是由于造船家在制造巡洋舰和主力舰时充分运用了数学原理。当时欧拉的很多研究成果就被直接应用到陆军和海军中去。为了发展航海事业，迫切需要确定船只在大海中的位置，船只在地球上的经纬度，就推动了对天体运行的研究，要进行战争，也需要研究如何才能使炮弹打得准确的问题，这就促使对“弹道学”的研究。当时象意大利、英格兰、荷兰等资本主义比较发达的西欧国家，相继出现了一批著名科学家，他们以劳动人民生产实践经验为基础，结合实际提出的具体任务，进行科学实验研究工作。如

达·芬奇和伽利略等研究了斜面与一般静力学问题：卡但、伽利略等研究了自由落体和抛射运动，斯台坟、伽利略、托里拆利等研究了流体、空气力学；伽利略研究了天体运动规律。总之，社会多方面的实践需要人们对各种“运动”进行研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观上实际的基础。后来，笛卡儿引入了变数，解析几何创始了，并随之由牛顿和莱布尼兹完成了微积分的学说。这时，反映和刻划数量关系的函数已大量涌现，但函数的一般定义尚未形成。

十七世纪末，莱布尼兹首先用了“function”一词。不过，当时这个词是用来表示“幂”、“坐标”以及“切线长”等概念，意义是含糊的。到1718年，函数被看成是用以由主变量的值求出因变量的值的解析式子。当时达朗贝尔就是这样下定义的：“所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式。”1748年欧拉又把函数定义为几何上“能用曲线表示的”这一属性，即：“函数就是一条随意可以描画的曲线”。以上两种定义就是我们现在中学代数中函数的解析法和图象法。它们都没有揭示函数的本质，还停留在现象上。人们继续对各种函数关系进行研究，逐渐用“变化”和“运动”的观点来认识函数概念，终于在1775年出现了新的定义：“如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量称为后一个量的函数”。这里揭示了变量之间的相依变化关系，是一个进步。但这个定义只是函数概念的雏型。

函数概念缺乏科学的定义，引起理论与实践的尖锐矛盾。例如，偏微分方程在工程技术中有广泛的应用，但是由于没有函数的科学定义，就影响到偏微分方程理论的建立，也就影响了有关工程技术的发展。公元1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学。他在和W.威伯尔合作发明电报的过程中，作了许多关于地磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使位函数作为数学的一个独立分支而出现了。实际的需要促使人们对函数的定义进一步进行研究。十九世纪，人们对函数概念的认识飞跃到一个新的阶段，函数的两个本质定义出现了。1834年的函数定义是这样下的：“x的函数是这样一个数，它

被每一个x所给出，且与x-起变化，函数式可以用公式表达出来，也可用某种条件给出，这种条件指出怎样把所有的数加以验算。函数关系可以存在而关系本身可以不知道。”这个定义叫做“列表定义”。因为从一个x值可以给出一个函数值y，就好象我们中学代数中列表表示函数值的方法一样，表中一栏是x值，和它对应的一栏就是y值。这里建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重要发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分。1837年，又把函数下了这样的定义：“如果对于任意x的值，相应地有完全确定的y值与之对应，那么称y为x的函数。在此用什么方法建立对应是完全不重要的。”函数的这个定义的优点，是直截了当地强调与突出了“对应”关系，但它的缺点是，把生动的函数变化思想省略和简化掉了。

生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾。本世纪二十年代，人类开始对微观物理现象的研究。1930年，“量子力学”问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数。例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力。从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，因为圆和直线、平面只能相切于一点。设车辆对轨道、桥面的压力为一个单位，这时在接触点x=0处的压强是

压力接触面

在其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即P(x)=0。另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即

综上所述，函数P(x)符合下列条件

，且

我们把具有这样条件的函数叫做函数。

一函数的出现，引起了人们的激烈争论。按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“”作为数。另外，对于自变量只有一点不为0的函数，其积分却不等于0，这也是不可想象的。一些有名望的数学家不承认这种函数，他们坚持从老的函数定义出发，去套现实中新发现的函数关系。但是，实践是检验真理的唯一标准，由于量子力学运用了这个函数，成功地解决了许多科学问题，从而迫使人们不得不去研究它。函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：“若对集合M的任意元素x，总有集合Ⅳ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义了一个函数，记为。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”

新的函数定义与老的函数定义从形式上看，只相差几个字，如把“数”改成“元素”，讨论的对象从“数的范围”进入到“一般集合”。实质上并非几字之差，而是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的“泛函分析”可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系。根据近代函数定义，我们可以说，线段的长度是线段的函数，在这里自变元是线段，因变元是数。至此，函数的概念就更加一般化了。