阅读与思考 函数概念的发展历程课件配套优秀获奖教案

教案

教学课题：复习函数Y=Asin（ω

x+φ）+k的图像

【教学目标】

（1）通过示图让学生对各函数图像有直观感受

（2）引导学生观察各函数图像，引出它们之间的变化关系，各函数图像的位置、形状与字母A

、ω

、φ

、k的关系。

【教学重点与难点】

（1）各函数图像之间的变化关系

（2）各函数图像的位置、形状与字母A

、ω

、φ

、k的关系

【课时安排】1课时

【教学方法】问题-合作-探究

【教学手段】多媒体教学

【教学过程】

一．

引入内容

在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如Y=Asin（ωx+φ）的图像（其中A

、ω

、φ是常数）。例如：物体作简谐振动时位移Y与时间X的关系；交流电中电流强度Y与时间X的关系等都可用这类函数表示。从而有必要学习好Y=Asin（ω

x+φ）+k这一类函数的图像。主要解决好以下两个基本问题。

二．提出问题（先提出问题然后讲解，学生在听课时能抓住要点）

1、

2、

如何由函数Y=sinx的图像经过变换得到函数Y=Asin（ω

x+φ）+k的图像？

函数Y=Asin（ω

x+φ）+k的图像与字母A

、ω

、φ

、k的关系是怎样的？

1

三．分析问题（引导学生将一个复杂的问题分解为若干个较为简单的问题逐个解决，进而解决整个问题）

可以将上述问题分解为以下几个步骤进行：

1.函数Y=Asinx与函数Y=sinx的图像关系如何？A的意义如何？

2.函数Y=sinωx与函数Y=sinx的图像关系如何？

ω的意义如何？

3.函数Y=sin（x±φ

）与函数Y=sinx的图像关系如何？

φ的意义如何？

4.函数Y=Asin（ωx+φ）与函数Y=sinx的图像关系如何？

5.函数Y=Asin（ωx+φ）+k与函数Y=Asin（ωx+φ）的图像关系如何？

k的意义如何？

四．解决问题

1、观察函数Y=2sinx及Y=1/2sinx的图像与Y=sinx的图像的关系。打开演示文件“三角1”。双击绿色“隐藏”先隐藏Y=1/2sinx的图像。拉动线段a的一端点使其长为1，这样Y=Asinx与Y=sinx的图像重合，继续拉动使其逐渐变为2，这样Y=Asinx与Y=2sinx的图像重合。（提醒学生注意此变化过程）双击绿色“显示”后，同理演示从Y=sinx的图像变换到Y=1/2

sinx的图像。让学生分析上例说明的问题并进行回答，稍后归纳为：

Y=2sinx的图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的。从而，Y=2sinx

,

x∈R的值域是[-2，2]，最大值2，最小值-2。

类似地，Y=

½

sinx的图像的图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的½倍（横坐标不变）而得到的。从而，Y=½sinx

x∈R的值域是[-½，½]，最大值½，最小值-½。

再扩展到一般情况，即如何从Y=sinx的图像经怎样的变换得到Y=Asinx（A>0）的图像。

学生总结回答后给出结论1:

一般地，函数Y=AsinX（A>0且A≠1）的图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

R的值域是[-A，A]，最大值是A，最小值是-A。

2

2、观察函数Y=sin2X及Y=sin（X/2）的图像与Y=sinX的图像的关系。双击演示图标“三角2”打开文件，依照上例中的演示方法进行图像变换。

引导学生分析上例说明的问题并进行回答，稍后归纳为：

Y=sin2x的图像，可以看作是把Y=sinX的图像上所有点的横坐标缩短到原来的½倍（纵坐标不变）而得到的。

类似地，Y=sin（X/2）的图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。

再扩展到一般情况，即如何从Y=sinx的图像经怎样的变换得到Y=sinωx（ω>0且ω≠1）的图像。

学生分析回答后教师给出结论2：一般地，函数Y=sinωx （A>0且

A≠1）的图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有的横坐标缩短(当ω

>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)而得到的。

3、

观察

函

数Y=sin（X+π/3）和

函

数

Y=sin（X-π/3）的图

象与函数Y=sinx的图像的关系。双击演示图标“三角3”打开演示文件，演示方法同第1例，[注意N值的变动，使（-1）round（n）=1，线段q的拉动过程]。

引导学生分析上例说明的问题并进行回答，稍后归纳为：

Y=sin（X+π）的图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有点向左平移π个单位而得到的。Y=sin（X-π）的图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有点向右平移π个单位而得到的。

再扩展到一般情况，即如何从Y=sinx的图像经怎样的变换得到Y=sin（X+φ）（φ≠0）的图像。

学生分析回答后教师给出结论3:一般地，函数Y=sin（X+φ），（φ

≠0）的图像，可以看作是把Y=sinx的图像上所有的点向左（当φ>0）

时或向右(当φ<0)时平行移动|φ|个单位而得到的。

3

4、观察函数Y=3sin（2x+π/3）的图像与函数Y=sinx的

图

象

的

关

系。双击演示图标“三角4”打开演示文件。第一步：把a变为1.00cm,ω变为1.00变为0,k变为0,这样浅蓝的图像与Y=sinx的图像重合。显示蓝色的Y=sin（x+π/3）的图像，拉动线段q的端点使其逐渐变化到π/3，这样Y=sinx的图像变化到Y=sin（x+π/3）的图像。第二步：隐藏细黑的图像。显示绿色的

y=sin(2x+φ)的图像。这时拉动线段w的一端使之长逐渐变到2.00cm,这可变动的浅蓝色图像与

y=sin(2x+φ)的图像重合。第三步：隐藏蓝色图像显示红色的

y=3sin(2x+π/3)的图像。这时拉动线段

a

的一端，使之长逐渐变为

3.00cm,这时可变动的蓝色图像与红色的

y=3sin(2x+π/3)

的图像重合。

向学生说明经以上三步变换，就相当于分三步将

y=sinx

的图像变换到

y=3sin(2x+π/3)的图像。

然后让学生用语言表达出此过程。教师归纳：

先把

y=sinx 的图像上的所有的点向左平行移动π/3 个单位，得到

y=sin(x+π/3) 的图像；再把

y=sin(x+π/3) 的图像上所有的点的横坐标缩短为原来的1/2 （纵坐标不变），得到

y=sin(2x+π/3)

的图像，再把

y=sin(2x+π/3)

的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的

3

倍（横坐标不变），从而得到

y=3sin(2x+π/3)

的图像。

扩展到一般情况，即如何将

y=sinx

的图像变换到

y=Asin(ωx+Φ) 的图像（A>0, ω>0）。让学生分析回答后，教师给出结论

4：

一般地，函数Y= Asin（ω

x+φ），（A>0, ω>0）,x∈R的图像可以看作是用下面的方法得到的:先把Y=sinx的图像上所有的点向左(φ>0)或向右(φ<0)平行移动|φ|个单位,再把所得各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1/

ω倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

引导学生思考问题：

（1）

为何不能由函数

y=sinx 的图像向左平移π/3

个单

4

位得到函数

y=sin(2x+π/3)

的图像

？引导学生思考回答并给出答案。

（2）由函数

y=sinx 的图像经怎样移动可以得到

y=sin(2x+π/3)

的图像？

引导学生思考回答并给出答案。

5、

函数Y=3sin（2x+π/3）+3/2的图像与函数Y=3sin（2x+

π/3）的图像的关系。打开文件“三角4.GSP”，显示红色的Y=3sin（2x+π/3）的图像和粗黑的Y=3sin（2x+π/3）+3/2的图像，而隐藏其它图像，这样画面除以上两图像还有变动的浅蓝图像。将a长调为3.00CM，w调为2.00CM，Q调为1.04CM，K调为0，这样浅蓝图像与红色的

Y=3sin（2x+π/3）重合，这时候拉动线段K的一端，使之长逐渐变为1.5CM，这样浅蓝图像与粗黑的

Y=3sin（2x+π/3）+3/2的图像重合。

向学生说明：以上变换可看作由的Y=3sin（2x+π/3）的图像向

上平移3/2个单位得到Y=3sin（2x+π/3）+3/2的图像。扩展到一般情况：即如何将Y=Asin（ωx+φ）的图像变换到Y=Asin（ωx+φ）+k的图像（A>0，ω>0,K≠0）。让学生分析回答，教师给出结论5: 一般地，函数Y=Asin（ωx+φ）+k，k

≠0的图像，可以看作是把函数Y=Asin（ωx+φ）的图像上所有的点向上（当K>0时）或向下(当K<0时)平行移动|K|个单位得到的。

五．总结：

对本节课所讲解的问题及答案加以复述，以向学生强调本节课的

重点知识。

六．课后作业：

1.如何将Y=sinX的图像变换到Y=4sin（x/2-π/3）-3/2的图像？

2.函数Y=Asin（ω

x+φ）+k的图像的上下平移，相位平移，周期变换，振幅变换分别由A、ω、φ、K中的哪一个决定？

5