阅读与思考 函数概念的发展历程优质课教学设计

函数的概念教学设计

一、内容和内容解析

函数是数学中最重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型。托马斯称：函数是现代数学思想之花。

《集合与函数概念》一章在高中数学中起着承上启下的作用。本课学习的函数概念及其反映出来的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。函数的思想方法贯穿了高中数学课程的始终。

本小节是继学习集合语言之后，运用集合与对应语言，在初中学习的基础上，进一步刻画函数概念，目的是让学生认识到它们优越性，从根本上揭示函数的本质。因此本课的教学重点是：学会用集合与对应语言刻画函数概念，进一步认识函数是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型。

二、目标和目标解析

1． 正确理解函数的概念，会用集合与对应语言刻画函数。通过实例分析，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；强化数学的应用与建模意识；培养学生的学习兴趣。

2． 理解函数三要素，会求简单函数的定义域。通过例题教学与练习，培养归纳概括能力。

3． 理解符号y=f(x)的含义，明确f(x)与f(a)的区别与联系。体会函数思想，代换思想，提高思维品质。

三、教学问题诊断分析

本堂课作为一堂公开课，我曾在多个班级试教。主要问题有：

首先，由三个实例归纳共性会遇到困难。原因是由具体实例到抽象的数学语言，要求学生具备较强的归纳概括能力；而对高一学生抽象思维能力相对较弱。

其次，学生不容易认识到函数概念的整体性。原因是把函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值。

第三，函数符号y=f(x)比较抽象，学生难以理解。

因此本课的教学难点是：1、从主观知识抽象成为客观概念。2、函数符号y=f(x)的理解。

四、学习行为分析

在初中学生已学习了变量观点下的函数定义，具体研究了几类最简单的函数，对函数并不陌生；学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围，学生能列举出函数的实例，已具备初步的数学建模能力。 我们目前所教的学生经历了初中新课程改革，他们普遍思维活跃，表达能力强，有较强的独立解决问题的能力。在平时的学习过程中，他们更喜欢教师创造疑问，然后自己想办法解决问题，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到

解决问题的方法。学生作为教学主体随时对所学知识产生有意注意，努力思索解决疑问的方式，使自己的能力通过教师的点拨得到发挥。

针对学生这一学习方式，我们在教学过程中从学生已有的知识经验出发，让学生明白新问题产生的背景，引导学生对三个实例进行分析，然后归纳共性，抽象出用集合与对应语言刻画的函数概念。其间采用了多媒体动画演示、教师引导、学生探究、讨论、交流一系列活动，让学生感到“概念的得出是水到渠成的，自然的而不是强加于人的”。

对函数概念的整体性的理解，通过设计“想一想”、“练一练”、“试一试”等问题情景激发学生积极参与，在问题解决的过程中巩固函数概念。而对函数符号y=f(x)，则让学生分析实例和动手操作，来认识和理解符号的内涵；并进一步渗透函数思想、代换思想。如三个实例用统一的符号表示、例4中计算当自变量是数字、字母不同情况时的函数值。让学生在做数学中领会含义，学会解题方法，提高解决问题的能力。

五、教学支持条件分析

《标准》提倡运用信息技术呈现以往教学难以呈现的课程内容，数学的理解需要直观的观察、视觉的感知，特别是几何图形的性质，复杂的计算过程，函数的动态变化过程、几何直观背景等，若能利用信息技术来直观呈现使其可视化将会有助于学生的理解。本节课将充分利用信息技术支持课堂教学。

1、 多媒体动画演示炮弹发射。在形象生动的情景中感受高度h随时间t的变化而变化的运动规律。

2、 用几何画板画出h=130t-5t2的图象。在图象上任取一点P(t,h),然后拖动点P的位置，观察点P的横坐标t与纵坐标h的变化规律。

3、 制作幻灯片展示问题情景。

六

、教学基本流程

七、教学过程

教学过程

一、复习引入，点击课题

在初中学过哪三类函数？能举几个例子吗？构成函数的两个变量间有什么样的对应关系？y=1,x∈R是函数吗？今天我们继续深入学习函数的概念。

设计意图

再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合与对应观点来定义函数奠定基础。

让学生举例：①认识生活中处处充满变量间的依赖关系②激发学生学习兴趣，提高发散思维能力。

二、实例探究、归纳共性

1．分析课本上三个实例，启发学生用集合与对应语言描述两个变量间的对应关系。（留足给学生探究的空间）

实例1

多媒体动画演示炮弹发射。引导学生观察运动过程中高度h随时间t的变化而变化的运动规律。师生共同讨论完成如何用集合与对应的语言描述h、t之间的对应关系，并板书：

从实际问题引出概念，激发学生兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高观察、分析问题的能力。

学生在合作交流中与同学分享；探讨氛围中倾听、质疑、表述学会合作，并在合作中懂得欣赏他人。

实例2

学生分组讨论，选代表发言，生生间进行补充、完善。教师板书：

实例3

让学生进行独立探究，并模仿教师板书。

2．归纳以上三个实例，你能说说它们有什么共同点吗？(学生合作交流) 共同点：①都有两个非空数集；②两个数集间都有一种确定的对应关系。

三、建立模型，形成概念（在师生、生生的互动交流中形成以下共识）。

1．定义 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y= f (x)，x∈R

2．函数的本质是从一个非空数集到另一个非空数集的特殊对应，是由定义域、对应关系、值域{ f (x)| x∈R }三要素构 让学生感受概念的形成过程，加深对知识的理解，提高抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力

抓住函数概念这一重点在多媒体屏幕上用不同颜色的字体来突出重点，抓住成的一个整体。函数的三要素是定义域、对应关系、值域{ f (x)|

关键，调动学生非智力因素，理解概念。

x∈R } 通过一组精心设计的问题链，创设一种轻松愉快、生动活泼的课堂气氛，来引导和激发学生的参与意识，培养学生探究问题的能力。“想一想”、“练一练”从正、

想一想：已知A={x︱0≤x≤2},B={y︱0≤y≤2},下面的图象能否表示从A到B的函数?

反两方面帮助学生理解函数概念。采用点击关键词的手段，进一步突出重点，抓住关键。

x

四、例题教学，巩固概念

(一)点击函数概念的关键词：

例1．下图能表示函数图象的是：

练一练：判断下列各式中y是不是x的函数？

⑴⑵⑶

变：

变：

从“图”到“式”符合从直观到抽象的认知规律，使学生的思维步步提升。

小结：判定两个变量间是否存在函数关系的依据是函数的定义。要抓住定义中的关键词：“A是非空数集”、“任意”、 “都有”、“唯一”

使学生学会求定义域的方法，养成格式规范以及解题后反思的良好解题习惯，增强学生学习过程中的反思意识。

⑵⑶

这两个函数相等吗？

“学起于思，思源于疑”，创设问题情境，让学生在探讨、交流中发现，判断两个函数是否为同一个函数的方法。进一步领悟函数的本质是由定义域、对应关系、值域三要素构成的一个整体。

⑴ ⑵

⑶ ⑷

（1） 求

（二）掌握求定义域的方法

例2 求下列函数的定义域。

⑴

反思：已知函数解析式求定义域的方法是什么？

（三）领悟函数的三要素。

想一想：与判断两个函数是否相等应看函数的三要素是否相同。由于定义域、对应关系确定时，值域也随之确定，所以若两个函数的定义域、对应关系相同，则这两个函数就一定相等。

例3 下列函数中哪个与相等？

练一练：书本P21，练习3 （四）理解符号y=f(x)的含义

例4 已知函数

（2） 当a>0时，求

从函数符号角度再次领悟函数的本质。在求解过程中，让学生体会代换的思想。

关注学生学习的主动性，培养学生数学表达交流的习惯和能力。自我小结的形式，将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固。

通过新旧定义的对比，再次深化对函数本质的理解。

小结：①y=f（x）表示y是x的函数，其中x是自变量。联系x、y的纽带是法则f，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体。

②f(a)表示x取a时对应的函数值，而不是f乘a。

五、知识回顾，方法总结：

1．谈谈这节课你学到了哪些知识？学会了哪些方法？

2．与初中定义对比，你对函数有什么新的认识？

引导学生从数学知识、数学方法等方面进行自我总结并发言，教师适当加以评价，以鼓励和肯定为主。最后通过屏幕展示出来，使学生对所学内容有一个整体认识。

课堂小结

?函数是刻画两个变量之间依赖关系的数学模型

?函数本质上是从一个数集到另一个数集的特殊对应

?函数由定义域,对应关系,值域三要素构成

?本节课还学会了：

1．判断两个函数是否为相等函数的方法是：判断这两个函数的三要素是否相同

2．求函数定义域的方法是

（1）考虑解析式有意义

（2）考虑实际意义.

两个定义实质上是一样的，只不过叙述的出发点不同

六、布置作业：

书本P27习题1、2 A组

1、2、3 B组

1 巩固所学知识，反馈课堂教学效果，使下一节课的教学有的放失；将课堂延伸，使学生将课堂所学内容再认识和升华。

课后探究题

是不是函数？

八、教学设计说明

1．本节课是一堂概念教学课。概念的教学不能仅靠说教，而应通过大量的实例来对原来概念加以同化或顺应，建构一个崭新的教学概念。遵照这一理念，本设计采取了先复习初中学习的函数概念，再结合三个实例，引导学生用集合与对应的语言来刻画函数。然后从三个实

例中抽象概括出函数的定义。这样从具体到抽象，从特殊到一般，让学生充分体会概念的形成过程，力求达到“概念的得出是水到渠成的，自然的而不是强加于人的”教学境界。

2．本着遵循“学生是主体”的教学原则，本设计通过创设问题情境，让学生经历概括、交流、反思等思维过程。在“巩固概念”环节中，创设“想一想”“练一练”“试一试”等问题，营造一种民主的、愉悦的、生动活泼的课堂氛围，让学生快乐的学习，放飞思维，体验成功的喜悦。通过题后反思，课后小结，培养学生良好的学习习惯。