阅读与思考 函数概念的发展历程名师教学视频（文字实录）

《函数的概念》教案 一、背景分析

1．学习任务分析

函数是中学数学一个重要的基本概念，其核心内涵为非空数集到非空数集的一个对应，函数思想是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础．为此本节课设定的教学重点是“函数概念的形成”．

2．学情分析

从学生知识层面看：学生在初中初步探讨了函数的相关知识，有一定的基础；通过高一第一节“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．

从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力．

教学中由实例抽象归纳出函数概念时，要求学生必须通过自己的努力探索才能得出，对学生的能力要求比较高．因此，我认为发展学生的抽象思维能力以及对函数概念本质的理解是本节课的教学难点．

鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标．

二、教学目标设计

目标

知识技能：通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；了解构成函数的三要素；

函数概念的本质；抽象的函数符号f(x)的意义；f(a)(a为常数)与f(x)的区别与联系； 过程方法：学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程，渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力；

情感态度：通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；体验函数思想；通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性和简洁美．

三、教法与学法选择

任何一堂课都是各种不同教学方法综合作用的结果，但我们认为本堂课有以下主要的教法和学法．

1．问题式教学法：本堂课的特点是概念教学,根据学生的心理特征和认知规律，我采取问题式教学法；以问题串为主线，通过设置几个具体问题情景，发现问题中两个变量的关系，让学生归纳、概括出函数概念的本质,这刚好也符合建构主义的教学理论．

2．探究式学法：新课程要求课堂教学的着力点是尊重学生的主体地位,发挥学生的主动精神,培养学生的创新能力,使学生真正成为学习的主体，结合本堂课的特点，我倡导的是探究式学法；让学生在探究问题

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的过程中,通过老师的引导归纳概括出函数的概念，通过问题的解决，达到熟练理解函数概念的目的,从而让学生由“被动学会”变成“主动会学”．

四、教学过程设计

(一)．结构分析

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为七个阶段：

分层作业，自主探究

(二)．教学过程

课题引入

2012年4月13日7时39分，朝鲜发射了一颗卫星，全世界都时刻关注着朝鲜卫星离地面的距离随时间是如何变化的，数学上可以用___来描述这种运动变化中的数量关系. （函数）

1．回忆旧知，引出困惑

问题一：请举出初中学过的一些函数．

回忆旧知，引出困惑

创设情境，形成概念

质疑解惑，剖析概念

讨论研究，深化理解

即时训练，巩固新知

总结反思，提高认知

y2x，yx2，y1等．

x问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么? 在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量．

[设计意图]：通过回忆初中的函数及函数的定义，为探究问题三作好铺垫．

问题三：y0(xR)是函数吗？

学生活动:先由学生思考回答，对产生的两种意见展开小组讨论，学生可能解决不了．

2.创设情境，形成概念

实例一：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h130t5t．

问题四：１.t的范围是什么？h的范围是什么？

２.t和h有什么关系？这个关系有什么特点？

2 2

实例二：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1.21中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况．

S 30 26 25 25 20 15 10 5

O 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001

t

图1 实例三：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表11中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

时间1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 （年）

恩格尔系数（%）

通过先对两个实例的学生自学，然后请学生谈感受，老师提问，学生回答，师生共同完成．

问题四：实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？

问题五：以上三个实例有什么相同的特征？

学生活动:让学生分组讨论交流，总结归纳出．

共同特点：①都有两个非空数集A、B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 通过学生的“观察 分析 比较 归纳 概括”培养学生抽象思维的能力，同时也培养了学生的创新意识．

问题六：满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？（先让学生说，老师再做补充）

函数概念：

设A、B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中

3 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集. 问题七:请同学们根据现在函数的定义判断前面三个实例是否表示两个集合的函数关系？

问题八:y0(xR)是函数吗? 方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？

可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？

3．质疑解惑,辨析概念

问题九:请同学们勾画出概念中的关键词，并用简洁的语言说明．

通过交流得出以下几点：

①

A、B都是非空的数集；

②

任意性与唯一性；

③

确定的对应关系，对应关系f可以是解析式、图象、表格．

问题十:函数由几部分组成? 三要素：定义域、值域、对应法则，缺一不可．

问题十一:怎样理解符号f(x)? 在法则f下，x所对应的函数值，并结合生活实例说明．

4．讨论研究，深化理解

例1 下列说法中，不正确的是 (B) A、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应

B、函数的定义域和值域一定是无限集合

C、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定

D、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素

例2、对于函数y=f(x)，以下说法正确的有( B ) ①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同

③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量

④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

5．即时训练，巩固新知

例3、给出四个命题：

①函数就是定义域到值域的对应关系

②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素

③因f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立

④定义

4

域和对应关系确定后，函数值也就确定了 正确有( D ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

学生活动:抽两位学生到讲台在黑板上分别完成（其他同学在下面完成），完成后，师生共同评价完善。

6．总结反思，提高认识

今天，我们在初中函数定义的基础上，运用集合与对应的语言重新刻画了函数，比较两个函数的定义，同学们有什么新的认识。

引导学生思考回答，老师作适当补充．

7．分层作业，自主探究

作业：：一、举出生活中函数的例子（两个以上），并用集合与对应的语言来描述函数

二、A组学生做：P24 1、2、3、4；

B组学生做：必做A组学生所做，选做P25 1题．

五．教学媒体选择

教学中使用多媒体来辅助教学，其目的是充分发挥快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于适当增加课堂容量，提高课堂效率；同时与黑板板书相结合．

附板书设计（提纲式）

练习：2

三个实例的共同点：

①

②

③

函数的概念

例1

练习：1

六．教学评价设计

通过函数概念的形成过程，例题和习题的完成情况，在老师巡视和提问中及时发现问题，纠正学生出现的错误，促进学生知识的正迁移，提高学生的学习效率； 七 .课后反思

评价学生的听课效果，自己的教学效果，分析自己的不足之处，根据对学生的学习情绪、学习效果及时进行评价，结合评价结果的反馈，及时调整学习过程、教学方法，积极地制定策略予以改正，并且虚心向专家型教师请教学习，使自己的教学设计和授课水平得到进步。

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