阅读与思考 函数概念的发展历程教案公开课一等奖

个性化教学辅导教案

年级：高一 教学课题

函数的概念及其表示

计划课时

第（ ）次课

共（ ）次课

学科: 数学

任课教师：周老师

授课时间：

年

月

日(星期

)

-

姓名

阶段

基础（ ） 提高（√） 巩固（ ）

知识点：

方法：

教学

考点：

目标

重点

重点：

难点

难点：

课前

检查

作业完成情况：优□

良□

中□

差□

建议__________________________________________

一、函数的基本概念

1.映射:设A、B是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作f：AB.(包括集合A，B及A到B的对应法则) 对映射概念的认识

教

学

内

容

与

教

学

过

程

(1)f：AB与f：BA是不同的,即A与B上有序的.或者说：映射是有方向的. (2)集合A、B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. (3)集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值. 即：(i)不允许集合A中有空余元素； (ii)允许集合B中有剩留元素；

(iii)允许多对一，不允许一对多.

2.函数：设A、B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数 x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。称f：AB为从集合A到集合B的一个函数,记作：yf(x),xA

(1)函数的定义域、值域：

在函数yf(x),xA中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值f(x)xA的集合B叫做函数的值域. 注意:(i)函数符号yf(x)与f(x)的含义是一样的；都表示y是x的函数,其中x是自变量,f(x)是函数值,连接的纽带是法则f。f是单值对应。

(ii)定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；

(2)一个函数的构成要素：定义域、值域和对应关系



1

(3)相等函数：两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。

注: 两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。

如:函数yx和yx1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；

ysinx与ycosx，其定义域为R，值域都为[-1,1]，显然不是相等函数。

因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系

(4)函数的表示方法：表示函数的常用解析法、图象法和列表法。

(5)分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。

(6)复合函数:设yf(u)，ug(x),当x在ug(x)的定义域中变化时,ug(x)的值在yf(u)的定义域Df内变化,因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,记为：yf(u)f[g(x)]称为复合函数,其中x称为自变量,u为中间变量，y为因变量(即函数)。

如：设f(x)2x3，g(x)x22则称f[g(x)](或g[f(x)])为复合函数。

f[g(x)]2(x22)32x21；g[f(x)](2x3)224x212x11

例1、下列各对函数中，相同的是（

）

x2A、f(x)x,g(x)

B、f(x)x,g(x)3x3

xC、

f(x)x,g(x)(x)2

D、f(x)

x2，g(x)x

例2、M{x|0x2},N{y|0y3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（

）

A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个

y 2 1 O y 2 1 1 2 x O y 3 2 1 2 1 1 2 x O y 1 2 x O 1 2 x

例3、下列图象中不能作为函数图象的是（ ）

2

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

例1：求下列函数的定义域。

(1) f(x)=

2、求函数定义域的两个难点问题复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为(a,b)，求f[g(x)]的定义域；

求法：由axb，知ag(x)b，解得的x的取值范围即是f[g(x)]的定义域。

（2）已知f[g(x)]的定义域为(a,b)，求f(x)的定义域；

求法：由axb，得g(x)的取值范围即是f(x)的定义域。

例2：已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x1)的定义域。

例3、已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

例4、已知f(2x－1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域。

例5．已知f(x1)的定义域为[-1,0]，求f(x1)的定义域。

x3x22；

(2) f(x)=2x9；

(3) f(x)=x1－x2x；

【变式训练】（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(x21)的定义域；

（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域

3

三、函数值域求法：

1.直接观察法:对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

2.配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；

3.换元法（无理函数，部分三角函数；形如yaf2(x)bf(x)c的函数）

4.分离常数法

5.变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。）

a1x2b1xc16.判别式法（

形如y(a1,a2不同时为0)分式函数）

a2x2b2xc27.函数的单调性法：

a.形如yaxbcxd，若ac0用单调性法，ac0用换元法；

b.形如

yx注

yxkkk(k0)若x与不能相等，用单调性法，x与能相等，用不等式法（特别关xxxk(k0)的图象及性质）

x8.不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如yx用函数单调性）

9.数形结合法

kk(k0)型函数，当x与不能相等时必须xx例．（直接法）y

12

2．（直接法）

f(x)2242xx2x2x33．（换元法）yx2x1 4. （Δ法）

y

5. （Δ法）y

3x

2x4x21x21

6. (分离常数法) ①yx3x1(2x4)

②yx12x1

4

7. (单调性)yx

8.①y

3(x[1,3])

2x1，②yx1x1 (结合分子/分母有理化的数学方法) x1x19．（数形结合)y32xx2(1x2)

四、求函数的解析式：

常见的求函数解析式的方法有待定系数法、换元法、消去法。

例1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）

例2．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（换元法）

例3．已知函数f(x)满足f(x)2f()x，求函数f(x)的解析式。（消去法）

5 1x

【巩固练习】

一、选择题

1.

下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）

A．yx与y1

x0

B．yx2与y2x 2C．

yx与y1

xx0D．

yx与y

xx02.

下列图形中，是函数的图象的有（ ）

y y

x x O O

A

B

2y y O x O x C

D 3.

已知函数yx2x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为（

）

A．1,0,3 B．0,1,2,3 C．y1y3 D．y0y3

4.

设f:AB是集合A到B的映射，那么下列命题中是真命题的是（ ）

A．

A中任何两个不同的元素必有不同的象

B．

A中任何一个元素在B中的象是唯一的

C．

B中任何一个元素在A中必有原象

D．

B中一定存在元素在A中没有原象

5.

已知函数f(x)x5ax3bx8,且f(2)10,那么f(2)等于（ ）

A．18

B．6

C．10

D．10

x2,x0,6.

已知函数f(x),x0,那么fff3的值等于（ ）

0,x0,A．0 C．

二、填空题

7. 函数y2

B． D．9

x5的定义域为___________．

x328. 已知函数f(x)2x，则f(x)=___________，f(1x)=__________.

6

9. 若f(x)x0,x, 则f(3)

，f[f(1)]______．

12x, x0,10. 已知f(x)[x1]，求f(3.2)=

，f(5.1)=

．

注：[x]表示不超过x的最大整数，如：[4.1]=4；[3]=3；[-2.1]=-3 三、解答题

11. 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x)．

12. 已知函数f(x2)x2，求f(x)．

13 . 已知f(x)是二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x,求f(x)．

能力题

214. （1）已知函数yf(x)的定义域为0,4，则函数yf(x)的定义域为___________．

2 （2）已知函数yf(x)的定义域为0,4，则yf(x)的定义域为____________．

15.

若f(x)的定义域为{x|x0,xR}，且f(xy)f(x)f(y)，若f(3)1，则f(9)=________．

课后

作业________________________________;

巩固复习_______________________________;

巩固

预习布置____________________________

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7