阅读与思考 函数概念的发展历程ppt专用说课稿内容

函数的概念教学设计

沁水中学 杨江丽

一、教学内容解析

本节内容为《函数的概念》，是人教A版高中《数学》必修一《函数及其表示》的第一课时，是概念性知识。函数的基本知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础；函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现。

函数的概念是数学中最重要的概念之一。从知识的角度来说：是学生在学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上的进一步拓展，本节课在高中数学中有着承上启下的作用，从初中运动观下的函数定义出发，过渡到使用集合语言描述了更为确切的函数定义。从数学思想的角度来看：本节课渗透的函数思想是高中最重要的数学思想之一，而函数的概念是函数思想的基础，它既对前面的知识作了巩固和发展，更是学好后继知识的基础和工具.从函数的内涵来看：其本质是从一个非空数集到另一个非空数集的特殊对应，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型。

二、教学目标设置

（1）.知识与技能

正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模

型。能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素。

（2）.过程与方法

创设情境，使学生经历从具体函数实例和运动观定义去解析函数的基础上，理解函数的集合观定义，进而理解对应关系f，培养学生类比与联想的学习能力

（3）.情感.态度和价值观

学生亲身经历了由特殊到一般，具体到抽象的研究过程，培养了学生质疑、探究的科学精神，也培养了学生唯物主义观点。同时体验函数思想；感受数学的抽象性和简洁美。

（4）.教学重点

体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数.

（5）.教学难点

函数概念的理解及符号“yf(x)”的含义.

三、学生学情分析

教学对象：沁水中学高一学生。学生对函数概念并不陌生，初中的函数概念教会学生认识把函数看成变量间的依赖关系，并且掌握了一次函数、二次函数和

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反比例函数的基本性质，已经基本具备建模的能力。学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐于和教师交流分享他们的解题心得。函数现象大量存在于学生的周围，但高一学生的抽象概括能力较弱，由实例到抽象的数学语言，需要教师的引导。

四、教学策略分析

在短短的45分钟要让学生经历函数定义发展史上100年的探究历程，学生不可能独立完成，这需要教师用加以引导，根据学情对学生的疑问做好预设，难度大的地方搭好梯子。所以本节课采取以“学生为主体，教师引导”教学原则来设计，着重解决了学生的几个疑问。

1.如何从初中描述性函数概念出发得到高中函数概念？

学生的抽象概括能力还很薄弱，这使得用集合语言刻画函数概念很有难度，如果直接归纳定义学生会失去刚刚燃起的探究欲望，所以我选择从三个实例入手，用问题串引领学生完成实例的分析，在分析过程中，重点让学生体会每个例子的“变化过程”就是对应法则，初中定义的“在一定范围内”用集合语言描述就是数集A，自然过渡到集合语言描述函数概念。师生共同研究得到函数定义；锻炼了学生的语言表达及思辨能力，让学生感受建立函数模型的过程和方法。

2.对应关系是指什么？

学生会觉得对应关系这个词很陌生，理解不好对应关系就无法真正理解函数的概念。我从三个实例中逐一的让学生体会初中定义中的

“变化过程”，第一个例子函数关系是通过解析式来表达的。第二个例子函数关系是通过图像来展现的，第三个例子的函数关系是通过表格来展现的，变化过程通过不同的方式呈现，我们把这些呈现方式理解为函数的对应法系。

3.为什么要引入抽象符号f（x）? ①先让学生回忆初中如何设出二次函数？yax2bxc(a0,a,b,c为常数）

提问什么要标明a,b,c为常数？是为了突显自变量是x! 现在二次函数可以设为：fxax2bxc(a0）清楚明了的表达了谁是自变量！

②初中求当x2 时y的值？现在可以表示为f2,简洁清晰。

以上两点需要教师引导，学生才能体会的到，学生这时会从内心对fx不抵制，不惧怕，明白了它其实就是一种符号语言的表达。

4.如何更深入的理解对应关系f呢？

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五、教学过程分析

教学流程：

检查学生的预习情况及

课题导入

引出课题

分析教材中的三个案例

跟初中的函数概念进行比较，明确新概念的优越性

课堂小结

（一）课题引入

例题处理

判断给定的表达式是否表示函数

了解函数的三要素

2018年5月14日早上，四川航空由重庆飞往拉萨的3U8633航班，在成都区域巡航阶段，飞机突然遇险，机组实施紧急备降。在“3U8633”备降期间，我们时刻关注着“3U8633”离地面距离随时间是如何变化的，数学上可以用（函数）来描述这种运动变化中的数量关系。

[设计意图]：引出课题，并启发学生向机长刘传健学习本领过硬，敢于担当的优良作风。

（二）回忆旧知，引出困惑

问题一：请举出初中学过的一些函数．

y2x，yx2，y1等．

x问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么? 设在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x在某个范围内的每个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量．

（从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系，有较强的物理背景）

问题三：y1(xR)是函数吗？

学生活动：先由学生思考回答，对产生的两种意见展开小组讨论．

由于受认知能力的影响，利用初中所学函数知识很难回答这些问题，形成认知冲突，从而引出本堂课的课题（用幻灯片打出课题）．让学生带着悬念、带

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着认知冲突学习后面的知识，这样有利于激发学生的学习欲望．

初中学习过的函数的概念从运动变化的观点出发，把函数看成了了变量之间的依赖关系.本节将进一步学习函数及其构成要素。

[设计意图]：巩固旧知识，为本节课迁移伏笔

（二）创设情境，形成概念

阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

实例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h130t5t．

问题四：（1）时间t的变化范围是什么？高度h的变化范围是什么？请分别用集2合表示。

A{t0t26} B{h0h845}

（2）t和h有什么关系？这个关系有什么特点？（尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.）

函数关系，对于集合A中的任意一个时间t，在集合B中都有唯一确定的高度h和它对应。

（实例一由师生共同完成）

事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需求越来越大，对环境的影响也越来越重，下面请同学们自学有关臭氧层空洞的问题和恩格尔系数的问题：

实例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1.21中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况．

实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活

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质量越高．表11中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

时间1991 （年）

恩格尔53.8 系数（%）

52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 通过先对两个实例的学生自学，然后请学生谈感受，老师提问，学生回答，师生共同完成. 问题五：实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？

问题六：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？

学生活动：让学生分组讨论交流，总结归纳出：

引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了三个共同特点：①都有两个非空数集A、B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 问题七：函数能否看做两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下个定义呢？（先让学生说，老师再做补充）

变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数.

你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？

函数概念：

设A、B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

思考:y1(xR)是函数吗?

（三）．质疑解惑,剖析概念

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问题八:请同学们勾画出概念中的关键词，并用简洁的语言说明．

通过交流得出以下几点：

①

A、B都是非空的数集；

②

任意性与唯一性；

③

确定的对应关系，对应关系f可以是解析式、图象、表格．

问题九：:函数由几部分组成? 三要素：定义域、值域、对应关系，缺一不可．

注意强调：

1°核心

——

对应法则

等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x与y的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式（如图表或图象等）.

函数是个“产品加工厂”

工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函数就是把自变量x按规格——“对应法则”“加工”成不同产品——y.它也象“数字发生器”把原料——自变量x，投入不同的“数字发生器”——“对应法则”就会得到不同的产物——因变量y. 2°前提和基础

——定义域

定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数. 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题. 3°值域

值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相等，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是相等函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是相等函数. 设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素. 问题十：为什么要引入抽象符号f（x）? ①先让学生回忆初中如何设出二次函数？yax2bxc(a0,a,b,c为常数）

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提问什么要标明a,b,c为常数？是为了突显自变量是x! 现在二次函数可以设为：fxax2bxc(a0）清楚明了的表达了谁是自变量！

②初中求当x2时y的值？现在可以表示为f2,简洁清晰。

问题十一：怎样理解符号f(x)? （1）yfx为“y是x的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”

（2）f是对应关系，它可以是解析式、图像、表格等。这里的“x”可以是一个数，也可以是一个代数式，还可以是某个某个函数符号。

（四）．讨论研究，深化理解

【例1】(1)下列可作为函数y= f (x)的图象的是（

）

(2)判断下列关系式是否是函数？

y1xx2

y1x2【例2】已知函数f(x)

1，

x22（1）求函数的定义域；（2）求f(3),f()的值；（3）当a0时，求f(a),f(a1)的3x3值．

想一想：函数的定义域该怎么求？符号f(a)(a为常数)与f(x)有哪些区别与联系?

（五）总结反思，提高认识

1.知识方面

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2.数学思想方面

3.数学方法方面

4.我们在初中函数定义的基础上，运用集合与对应的语言重新刻画了函数，比较两个函数的定义，同学们有什么新的认识．

引导学生思考回答，老师作适当补充．

（七）分层配餐（课后作业）

完成下列表格，体会集合与对应观点下描述的函数定义

函数

一次函数

二次函数

反比例函数

a0

对应关系

定义域

值域

a0

A组

1、求下列函数的定义域．

（1）、f(x)2x134x （2）f(x)1. x21(x1)21x的定义域

2、求函数yx163、已知函数f(x)＝－x＋4，(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1), f(12)x－1的值．

设计意图：巩固基础知识

B组

4、设f(x)＝1，则f(f(a))________。

1－x5、已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是(

) 设计意图：进一步提高学生应用知识分析问题和解决问题的能力。

C组

x211；

6、已知函数f(x)＝， (1)求f(2)与f， f(3)与f1＋x2231(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；

x

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111. (3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＋f＋f＋…＋f232 013设计意图：巩固学生对本节课重难点的掌握。

六、板书设计：

1、

高中的函数概念

2、

函数的三要素

案例分析

案例1 案例2 案例3 思考:y1(xR)是函数吗?

七、教学反思_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________ ____________

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