阅读与思考 函数概念的发展历程教案设计（一等奖）

1. 2.1

函数的概念

函数概念的发展历史

【教学目标】

1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；

2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．

3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。

【教学重难点】

教学重点

能熟练求解常见函数的定义域和值域．

教学难点

对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．

【教学过程】

1、创设情境

下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？

（1）f(x)＝

(x－1) 0；g(x)＝1 ；

（2）

f(x)＝x；g(x)＝x2；

、（3）f(x)＝x

2；g(x)＝(x + 1) 2 ；

（4）

f(x) ＝|x|；g(x)＝x2．

2、讲解新课

总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

3、典例

例1

求下列函数的定义域：

（1）yx1x1；

（2）y13x235x2；

分析：

一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

解

：

（1）由x10,x1,得即x1，故函数yx1x1的定义域是[1，)．

x10,x1,2x30,x3,（2）由得即5≤x≤5且x≠±3，

25x0,5x5,

故函数的定义域是{x|5≤x≤5且x≠±3}．

点评：

求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：

①

分式中，分母不等于零．

②

偶次根式中，被开方数为非负数．

③

对于yx0中，要求

x≠0．

变式练习1求下列函数的定义域：

（1）y(x1)0|x|x；（2）y2x312x1．

x

x10,x1,(x1)0解

（2）由得

故函数y是{x|x<0，且x≠1}．

|x|x0,x0,|x|x3x,2x30,23

（4）由2x0,即x2,

∴≤x＜2，且x≠0，

2x0x0,3≤x＜2，且x≠0}．

2说明：若A是函数yf(x)的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出故函数的定义域是{x|值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．

因此我们可以知道：对于函数f：A

B而言，如果如果值域是C，那么CB，因此不能将集合B当成是函数的值域．

我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．

例2．求下列两个函数的定义域与值域：

B （1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；

（2）f (x)=( x-1)2+1．

f 解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，

fC (x)f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，

所以这个函数的值域为{1，2，5}．

（2）函数的定义域为R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1} 点评：

通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．

y11变式练习2

求下列函数的值域：

（1）yx24x6，x[1，5)；

x（2）y3x1；

x13解：（1）y(x2)22．

作出函数yx24x6，x[1，5)的值域为{y|2≤y＜11}．

（显然2）解法一：2O的图象，由图观察得函数15xy3(x1)44，3x1x14可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．

x13x1解法二：把y看成关于x的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数定x1义域｛x|x≠－1｝内有解的条件是

y－3≠0，y＋1，解得y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．

－≠－1y－3点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；

（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．

4、

课堂小结

（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．

【板书设计】

一、

函数三要素

二、

典型例题

例1：

例2：

小结：

【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

1.2.1

函数的概念

第二课时

函数概念的应用

课前预习学案

一

、预习目标

1．通过预习熟知函数的概念

2．了解函数定义域及值域的概念

二

、预习内容

1．函数的概念：设A、B是__________，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的_______数x，在集合B中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称_______为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合_________叫做函数的值域．值域是集合B的______。

注意：①如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；②

函数的定义域、值域要写成_________的形式．

定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母________；

(2)偶次方根的被开方数_________；

(3)对数式的真数_______；(4)指数、对数式的底_________.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以_______ (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

2．

构成函数的三要素：_______、_________和__________

注意：（1）函数三个要素中．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的_______和_________完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

高考资源相同函数的判断方法：①____________________；②______________________(两点必须同时具备) 3. 函数图象的画法

①描点法：②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、__________和___________ 4．区间的概念（1）区间的分类：________、_________、_________；

说明：实数集可以表示成(–∞，+∞)不可以表示成[–∞，+∞]--------切记高.考.资.源. 5．什么叫做映射：一般地，设A、B是两个____的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应，那么就称对应_________为从集合A到集合B的一个映射。

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应

高考资源①集合A、B及对应法则f是确定的②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有____与之对应（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是____；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应的元素。

6．函数最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

（1）__________________________________(2)________________________________ 那么我们称M是函数y=f(x)的最大值；

函数最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

（1）__________________________________ (2)__________________________________ 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值

7：分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应把几种不同的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．说明：（1）分段函数是高考资源一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的____，值域是各段值域的_____．

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

疑惑内容

一、学习目标

1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；

2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．

学习重点

能熟练求解常见函数的定义域和值域．

学习难点

对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．

二

、学习过程

创设情境

下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？

（1）f(x)＝

(x－1) 0；g(x)＝1 ；

（2）

f(x)＝x；g(x)＝x2；

、（3）f(x)＝x

2；g(x)＝(x + 1) 2 ；

（4）

f(x) ＝|x|；g(x)＝x2．

讲解新课

总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

例1

求下列函数的定义域：

（1）yx1x1；

（2）y13x235x2；

变式练习1求下列函数的定义域：

（1）y(x1)0|x|x；（2）y2x312x1．

x若A是函数yf(x)的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．

因此我们可以知道：对于函数f：A

B而言，如果如果值域是C，那么CB，因此不能将集合B当成是函数的值域．

我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．

例2．求下列两个函数的定义域与值域：

（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；

（2）f (x)=( x-1)2+1．

B 变式练习2

求下列函数的值域：

（1）yx24x6，x[1，5)；

（2）y3x1；

x1xf fC (x)三

、

当堂检测

（1）P25练习7；

（2）求下列函数的值域：

①y2x1；②yx22x3,x(1，6]．③y3|2x1|．

x1课后练习与提高

cx3,(x)满足f[f(x)]x,则常数c等于（ ）

2x32A. 3 B. 3 C. 3或3 D. 5或3

x1(x≤1）

52.设f(x) ，

则f(f())的值为（ ） 23x(x＞1）

1359A. B. C. D.

22221.函数f(x) 24.函数y2x4x的值域是（ ）

A.[2,2] B. [1,2] C.[0,2] D.[2,2]

5.已知f（x）＝x＋ax＋bx－8，f（－2）＝10，则f（2）=____．

5326.若函数f(2x1)x2x，则f(3)=