阅读与思考 函数概念的发展历程国家优质课一等奖

成安一中高一数学

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（1）正比例函数ykxk0有且仅有一个零点0

3.1.1方程的根与函数的零点

一、学习目标

1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

2．理解函数的零点与方程根的关系．

b（2）一次函数ykxbk0有且仅有一个零点

kk（3）反比例函数yk0没有零点

x2(3)

f(x)x1x24x3x3

(4)

f(x)log2x1

x(5)

f(x)45

（4）对于二次函数yaxbxc(a0)的零点：

3．掌握函数零点的存在性的判定方法．

二、自学导引

1．函数零点的定义：

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的________．

2．函数零点的意义：

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的__________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的__________．

结论：方程f(x)0有实数根

函数yf(x)的图象与x轴有交点

函数yf(x)有零点．

注意：

（1）函数的零点不是一个点，而是一个实数x0，且满足f(x0)0. （2）并不是所有函数都有零点，正如不是所有方程都有实数根一样.如：函数f(x)x21

（3）若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内

3.函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：

（1）（代数法）求方程f(x)0的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求公式法求根的方程或者不易求得实数根的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4.常见函数的零点

△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点．

△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

（5）指数函数yaxa0且a1没有零点

（6）对数函数ylogaxa0且a1有且仅有一个零点1. （7）幂函数yxn，当n>0时，有且仅有一个零点0，当n0时，没有零点.

4.函数零点的存在性的判定方法

如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)________0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)________0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

三、典型例题

题型一、求函数的零点

例1

求下列函数的零点：

(1)

f(x)x22x3

(2)

f(x)x34x

数统治着世界。 ————毕德格拉斯

变式迁移1 1、若函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________．

2、若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3 （1）求a，b的值

（2）求loga25b2的值

题型二、判断函数零点的个数

例2、

(1)求f(x)x2,x0x21,x0的零点个数



(2)f(x)＝ln x－2x在x>0上共有________个零点．

成安一中高一数学

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变式迁移2 1、求函数f(x)log2xx2的零点的个数．

2、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在

(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为(

) A．3 B．2 C．1 D．不确定

题型三、判断函数零点所在区间

例3、已知函数f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（ ）

A．（0,1）

B．（1,2） C．（2,4） D．（4,+）

变式迁移3 1、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x 1

2

3

4

5

6

7 f(x)

23

9

－7

11

－5

－12

－26

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有(

) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个[来源:

学#科

四、课堂练习

一、选择题

1．函数f(x)xx216的零点为(

) A．(0,0)，(4,0)

B．0,4 C．(－4,0)，(0,0)，(4,0) D．－4,0,4 2.函数f(x)x1x的零点个数是（

）

A．0 B．1 C．2 D．不确定

3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为(

) A．至多有一个 B．有一个或两个

C．有且仅有一个 D．一个也没有

4．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(

) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断5．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为(

) A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 007 二、填空题

6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若ac<0，则函数的零点有________个．

7．若函数f(x)＝ax＋b

(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．

数统治着世界。 ————毕德格拉斯

三、解答题

8、若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．

9．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．

(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；

(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．