阅读与思考 函数概念的发展历程教案设计（一等奖）

《函数的概念》教学设计

松桃苗族自治县智华（第六）中学 刘政荣

一、教材内容分析

“函数”是中学数学的核心概念。函数贯穿于整个高中数学的教学中，是整个高中数学的主题内容。

学生在初中已经学习过函数的概念。初中函数的概念是：

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当xa时yb，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

这个定义把函数看成是两个变量之间的依赖关系。根据这个观点，有些函数很难进行深入研究。例如y，对于这个函数，如果用变量观点来解释，会显得特别勉强。但用高中集合、对应的观点来解释就十分自然。

在高一，学生需要建立的函数概念是：

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域。

实际上，初中的函数概念和高中的函数概念本质上是一样的。只是高中的函数概念更具有一般性，高中用集合、对应的语言描述函数概念，在初中虽然没有提及，但事实上是客观存在的，学生在解决具体问题的过程中也渗透了集合与对应的观点。

不同之处在于初中没有明确强调“确定的对应关系”，或者所接触的函数多数是有解析式的，而高中引入了用“f”表示对应关系，用f(x)表示集合B中与x对应的那个数。

在函数的概念教学中，我认为需要注意以下几点：

1、集合A和集合B都必须是非空的数集，这与映射是不同的。

2、两个数集之间有确定的对应关系f，即对于数集A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的y和它相对应。对于集合A中的数，不能有些在B中有元素跟它对应，而有些没有；而且，在集合B中只能有一个数跟它对应，不能是两个或两个以上。

3、函数概念中集合A和集合B以及对应法则f是一个整体。

基于以上认识我认为本节课教学重点是：通过概括具体实例的共同属性得出用集合与对应的语言刻画的函数概念。

二、教学目标分析

1、学生能通过观察、辨析具体实例的共同属性，逐步抽象出用集合的语言刻画的函数的概念；

2、函数的概念及函数的三要素；

3、学生能求出一些简单函数的定义域及具体的函数值；

4、通过从实例中抽象概括函数概念的过程，提高抽象概括能力。

三、学生学情分析

学生在初中已经学习了用变量观点描述的函数的概念，并具体研究了几类简单初等函数，对函数有了一定的感性认识。另一方面在第一章已经学习了集合，为学习用集合和对应的语言描述的函数的概念打下基础。

初中函数的概念比较直观。本节课函数的概念较为抽象，高一学生的思维水平还不善于把抽象概念和具体实例联系起来，因此在教学中需要在学生头脑中建构情景帮助学生理解函数是从集合A到集合B的对应关系，它是一个整体。

四、教学策略分析

问题式教学法（问题情境、启发引导、合作交流、归纳抽象）

本节课从集合与对应的角度揭示函数的本质。根据学生的心理特征和认知规律，我结合以问题为主线，以学生为主体，以教师为主导的教学理念，采用一系列的设问、引导、启发、发现，让学生归纳概括出函数概念的本质，并灵

活应用多媒体和黑板来呈现、展示、交流，并以此来突破本节课的难点：符号yf(x)的意义以及值域与集合B的关系。

五、教学过程分析

（1）引入问题

我们在初中已经学习了函数，就函数这个内容，你还有哪些印象呢？

问题1：根据初中学习的函数的概念，你能举出几个函数的具体例子吗？

在学生回答基础上追问：你凭什么认为你举的是一个函数的例子？

设计意图：通过具体实例，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望。了解学生在初中对函数概念的认知程度，让学生感受函数概念的本质，即对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。以此问题来刺激学生大脑，活跃课堂，并培养学生的逻辑思维能力。

（2）创设情境，形成概念

实例分析1、一枚炮弹发射后，经过s落到地面击中目标，炮弹的射高为m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是htt，那么炮弹距离地面的高度h是时间t的函数吗？为什么？

学生：对于任一个给定的时间t，都有唯一确定的高度h跟它相对应，因此h是t的函数。

教师：好，那我给你一个具体的时间，你怎么得到与之相对应的高度？

学生：通过htt。

教师：那你能说出ts,s,s时对应的高度h吗？

学生：ts时hm,ts时hm，由于炮弹在s时已经落到地面爆炸了，因此在ts时没有高度跟它对应了。

教师：那你还能说任给一个时间t，都有唯一确定的高度h与之对应吗？

学生：对于s~s之间的每一个时间t，通过htt，都有唯一确定的高度h跟它相对应。

教师：s~s是我们生活中的语言，其实我们可以用集合表示这个范围，你能说出这个集合吗？

学生：At|t

教师：那么高度h也应该有一个范围，你能用集合表示吗？



学生：Bh|h

教师：那我们可以用集合的语言重新表述这个实例中的对应关系，谁来说一说。

在学生描述的基础上教师规范解答：对于集合A中的每一个时间，集合B中都有它的倍减去它平方的倍与它对应。

教师：那么用集合的语言表述的这个实例中对应关系和你刚才判断炮弹距离地面的高度h是时间t的函数所用的表述方式有什么不同吗？那么它们的对应关系变了吗？

设计意图：本例题具有承上启下的作用：既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合的语言刻画函数概念的本质做好伏笔。此外，本例题符合学生的认知规律，化抽象为直观，学生容易理解。

实例分析2、近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图显示了南极上空臭氧层空洞面积从1979~2001年的变化情况。那么臭氧层空洞面积s是时间t的函数吗？为什么？

学生：面积s是时间t的函数，因为对于每一个确定的t值，都有唯一确定的一个面积s跟它对应。

教师：好，那我给你一个具体的时间t，你怎么得到与之相对应的面积？

学生：根据图像。

教师：那你能说出对应的面积吗？

学生：20。

教师：前面实例中的对应关系是用解析式表示的，那这个实例中的对应关系也得用一个解析式表示吗？

学生：不用。

教师：那我们如何记录这个对应关系呢？

由学生思考，教师启发得出用图像记录这个对应关系。

教师：好，那是不是对任何一个时间，通过图像，都有面积跟它对应呢？

学生：不是，对于~之间的每一个时间，都有唯一的面积跟它相对应。

教师：那好，咱们用集合来表示这个范围。

。

学生：At|t教师：同样的，那面积s也有一个范围，怎么用集合表示？

学生：Bs|s

教师：你能用集合的语言重新表述一下这个对应关系吗？

教师：那用集合的语言表述的这个实例的对应关系和你刚才判断臭氧层空洞面积s是时间t的函数所用的表述方式有何不同呢？那么时间t到面积s的对应关系变化了吗？

教师：那么集合B可以是Bs|s吗？

学生：可以。

教师：那集合B可以是s|s吗？为什么？

设计意图：让学生参与课堂,体验图像是一种记录两个变量之间的对应关系的语言，进一步提高学生用数学语言表达问题的能力。

实例分析3、国际上常用恩格尔系数（恩格尔系数食物支出金额）反映一总支出金额个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表给出“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况。那么恩格尔系数是时间的函数吗？你能仿照前面的两个实例来描述恩格尔系数和时间（年）的关系吗？

时间

（年）

恩格尔系数（％）

53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

活动：同桌两人为一组，交流讨论（用时大约2分钟），从中选一名代表来描述恩格尔系数和时间（年）的关系。

教师：那你能说出1999对应的恩格尔系数吗？

学生：.。

教师：那么这个对应关系得用一个解析式来表示吗？

学生：不用。

教师：那我们该如何记录这个对应关系呢？

经过学生思考、提出意见后统一认识：用表格记录这个对应关系。

设计意图：本例题从生活中的经济问题出发，通过学生思考、探索，进一步认识到对应关系也可以用表格来记录。

问题3：分析这三个实例，它们有哪些共同属性呢？

设计意图：从特殊到一般，归纳得出三个案例的共同属性：对集合A的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的一个数y与它对应，即集合A到集合B有一种对应。比较三个案例，体会用解析式、图像、表格刻画变量之间的对应关系，让学生感受从本质上本节课学习的函数概念和初中函数的概念是一致的，但初中是用两个变量间的依赖关系描述函数，而高中是用两个集合元素之间的对应关系来描述函数概念，让学生体验数学发现和创造的历程。这样做，不仅符合学生的认知规律，而且符合“先过程后对象”的认知顺序。

教师：我们学习过很多的数学概念，当我们认识到概念的本质属性以后，我们并没有停止，这些数学概念往往都沉淀成一个数学符号。就如某个锐角的正弦，我们发现不管在那个直角三角形中，只要这个角的大小一定，那么这个角的对边比斜边都不变，我们把这个定值称为这个锐角的正弦，但是我们并没有因此停下来，我们用sinA来表示这个角的正弦。那我们只要看到sinA，就知道它表示直角三角形中这个锐角的对边比斜边。那么这三个实例的共同属性是不是也可以用一个符号来表示？

f:AB老师总结板书：

xyf(x)设计意图：数学中的概念通常是用符号来表示的。学生总结三个实例的共同属性，能够认识到函数的本质，这时及时地引进数学符号，不仅可以引导学生把符号和它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的本质特征，从而可以提高学生的抽象能力、概括能力。

建立函数概念：

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域。

（3）质疑解惑，剖析概念

问题5：那么我们这节课学习的函数的概念中，有哪些关键词呢？

再次回到三个实例中，分别要求学生说出实例中的具体函数值。

设计意图：由学生指出概念中的关键词，说出三个案例的具体函数值，从抽象到具体，从一般到特殊，挖掘背后的思维过程，暴露学生对函数概念的本质的理解情况。

通过学生讨论、教师引导，判断若干对应是否为函数，加深函数定义的理解。

问题6：以下五个对应是否为函数，为什么？

师：学生分组讨论后提问回答。

生：通过问题探究，深入理解并非所有的对应都是函数。

设计意图:通过构成要素及概念分析，深入理解函数概念中难点知识。

说明：1.通过判断，理解“关键词”、“函数构成要素”和“值域是集合B的子集”等难点知识。

2.函数概念属于概念性知识，进一步引导学生通过把握概念的关键词及概念内涵，加强理解。

思考辨析：下列哪些y是x的函数，为什么？

()yxx；

()y(xR)

()()yOxyＯx

设计意图：对函数概念正例与反例的辨析，通过学生比较、分析、概括，可以使概念的关键属性变得清晰，使实例成为理解概念的一种思维载体。

（4）讨论研究，示范巩固：

例、已知函数f(x)x()求函数的定义域；x

（）求f(),f()的值；

（）当a时，求f(a),f(a)的值。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例。如果只给出解析式yf(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

解：()使根式x有意义的实数x的集合是x|x

有意义的实数x的集合是x|x

x所以，函数的定义域就是使分式x|xx|xx|x,且x.

;f().()因为a,所以f(a),f(a)有意义.()f()f(a)a;a

f(a)aa.(a)a

设计意图:学生能求出简单函数的定义域，培养学生的数学应用意识，再次加深对函数概念的理解。

问题8.下列函数中哪个与函数f(x)x相等？

（1）f(x)(x)2

（2）y3x3

（3）yx2 （4）f(x)x

x2

生：运用函数概念的三要素判断并交流讨论。

师：归纳总结。

设计意图:进一步加深对函数定义的理解，理解并掌握判断两个函数相等的程序。

说明：1.认识函数概念的整体性，即定义域、值域、对应法则虽是函数的三个部分，但却是一个整体。同时认识f(x)符号的意义，可以尝试在此处引导学生代入具体数值计算函数值，或者代入变量a，通过比较f(x)和f(a)加强抽象符号的认知。

2.理解f(x)意义属于本节课难点知识。教学中通过剖析f(x)构成、代入数值及辨析f(x)和f(a)区别等方式加强理解。

3.函数三要素内容属于事实性知识，理解后记忆便可。

4.判断函数相等属于程序性知识，引导学生理解并掌握操作流程。

（5）总结反思，提高认识

课堂小结：如果你的同学不明白函数的概念，通过本节课的学习，你觉得你怎么解释他就能很快明白？

设计意图：巩固函数概念。

（6）作业设计：

教材P19页练习第1,2题，P24页习题1.2第4题。

（7）板书设计：

1.2.1

函数的概念

实例分析1：

实例分析2：

实例分析3：

例1：