阅读与思考 函数概念的发展历程优秀教学设计

1．2.1 函数的概念

函数的概念

[提出问题] 某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方122成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt，其中g取9.8 m/s. 2问题1：时间t和物体下落的距离s有何限制？

提示：0≤t≤3,0≤s≤44.1.

问题2：时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？

提示：确定．

问题3：下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？

提示：不能．

[导入新知] 函数的有关概念

设A，B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个函数的概念

数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法

y＝f(x)，x∈A

定义域

值域

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域

[化解疑难] 理解函数的概念应关注五点

(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．

(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．

(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．

(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．

1

(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．

区

间

[导入新知] 区间的概念及表示

定义

{x|a≤x≤b}

{x|a≤x

{x|a

{x|a

{x|x≥a}

{x|x>a}

{x|x≤a}

{x|x

R

[化解疑难] 1．理解区间概念的注意点

(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；

(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；

(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；

(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．

2．关于无穷大的两点说明

(1)∞是一个符号，而不是一个数；

(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．

名称

闭区间

半开半闭区间

半开半闭区间

开区间

半开半闭区间

开区间

半开半闭区间

开区间

开区间

符号

[a，b]

[a，b)

(a，b]

(a，b)

[a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，a]

(－∞，a)

(－∞，＋∞)

数轴表示

函数的判断

2

[例1] (1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是(

)

(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？

①f：把x对应到3x＋1；

②g：把x对应到|x|＋1；

1③h：把x对应到；

x④r：把x对应到x. [解] (1)选D y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的y和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，大多都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．

(2)①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应．如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．

同理，②也是实数集R上的一个函数．

1③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在．

x④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，x的值不存在．

[类题通法] 1．判断所给对应是否为函数的方法

(1)首先观察两个数集A，B是否非空；

(2)其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应x. 2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤

(1)任取一条垂直于x轴的直线l；

(2)在定义域内平行移动直线l；

(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个

3

以上的交点，则不是函数．

[活学活用] 在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(

) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；

3②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝3x；

③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x＋y＝25；

④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x；

⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；

⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥

C．②③④ B．②④⑤⑥

D．①②③⑤

2222x解析：选D ①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．

求函数的定义域

[例2] 求下列函数的定义域：

x＋(1)y＝x＋15－x(2)y＝. |x|－32－1－x；

[解] (1)要使函数有意义，自变量x－1，

x＋1≠0，的取值必须满足1－x≥0，

解得x≤1且x≠即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．

5－x≥0，(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足|x|－3≠0，

解得x≤5且x≠±3，

即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．

[类题通法]

4

求函数的定义域应关注四点

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x要求x≠0.

(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，0而应该用并集符号“∪”连接．

[活学活用] 求下列函数的定义域：

(1)y＝－x2x2－3x－2；

(2)y＝x－1·1－x；

(3)y＝3； (4)y＝(x－1)0＋

21－1－xx＋1. ≤0，解：(1)－x≥0，2x2－3x－2≠0

x⇒x≠2且x≠－12，

∴函数的定义域为1xx≤0，且x≠－2

. (2)x－1≥0，1－x≥0

⇒x＝1.∴函数的定义域为{1}．

(3)1－1－x≠0，1－x≥0

⇒x≠0，x≤1.

∴函数的定义域为{x|x≤1，且x≠0}．

x－1≠0，(4)2x＋1≥0，x＋1≠0，

解得x＞－1，且x≠1.

∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠1}．

求函数值和值域

[例3] 已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；

(2)求f(g(2))的值；

5

(3)求f(x)，g(x)的值域．

1[解] (1)∵f(x)＝，

1＋x11∴f(2)＝＝. 1＋23又∵g(x)＝x＋2，

∴g(2)＝2＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝(3)f(x)＝11＝. 1＋67221的定义域为{x|x≠－1}，

x＋1∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值为2，

∴值域是[2，＋∞)．

[类题通法] 求函数值域的方法

求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；

(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±cx±d)，通过换元把它们转化为有理

函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．

[活学活用] 求下列函数的值域：

(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；

(2)y＝x－2x＋3，x∈[0,3)；

2x＋1(3)y＝；

x－3(4)y＝2x－x－1. 解：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．

(2)(配方法)y＝x－2x＋3＝(x－1)＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．

222

6

2x＋1(3)(分离常数法)y＝＝x－3x－＋777＝2＋，显然≠0，所以y≠2.故函x－3x－3x－3数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

121522(4)(换元法)设t＝x－1，则t≥0且x＝t＋1，所以y＝2(t＋1)－t＝2t－＋，4815由t≥0，再结合函数的图象[如图(2)]，可得函数的值域为，＋∞. 8

3.相等函数的判断

[典例] 下列各组函数：

x2－x①f(x)＝，g(x)＝x－1；

x②f(x)＝xx，g(x)＝；

xx2③f(x)＝x＋1·1－x，g(x)＝1－x；

④f(x)＝x＋2，g(x)＝x＋3；

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．

其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)．

[解析] ①不是相等函数，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不是相等函数，对应法则不同，f(x)＝1x，g(x)＝x.③是相等函数，定义域、对应法则都相同．④不是相等函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤是相等函数，定义域、对应法则都相同．

[答案] ③⑤

[易错防范] 1．若只注意对应关系，忽视定义域，则易误认为①中f(x)与g(x)是同一函数，从而导致解题错误．

7

2．若认为不同的字母表示的函数是不同的函数，则会误认为⑤中的两个函数是不同的，从而导致解题错误．

3．讨论函数是否为同一函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

[成功破障] 与函数y＝x＋1相等的函数是(

) x2－1A．y＝

x－1C．y＝x＋2x＋1 2B．y＝t＋1 D．y＝(x＋1)

2解析：选B 选项A，D与原函数的定义域不同，选项C与原函数的对应关系不同，选项B与原函数定义域、对应关系都相同，故选B.

[随堂即时演练] 1．下列各组函数中，表示同一函数的是(

) x2－9A．y＝与y＝x＋3 x－3B．y＝x－1与y＝x－1 C．y＝x(x≠0)与y＝1(x≠0)

D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z 解析：选C 选项A中两函数的定义域不同；选项B，D中两函数的对应关系不同．

2．下列图形(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)中，表示y是x的函数的是(

) 02

解析：选D 根据函数的定义，对于非空数集A中每一个确定的x值，非空数集B中都有唯一确定的y值与之对应，只有图形D符合函数的定义．

3．用区间表示下列数集：

(1){x|x≥1}＝________；

(2){x|2

(3){x|x>－1，且x≠2}＝________. 答案：(1)[1，＋∞)

(2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)

8

4．函数y＝2x＋41－x的值域为________(用区间表示)．

解析：令t＝1－x，则x＝1－t2(t≥0)，

y＝2x＋41－x＝2－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋4. 又∵t≥0，∴当t＝1时，ymax＝4. 故原函数的值域是(－∞，4]．

答案：(－∞，4] 5．若f(x)＝1－x1＋x(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f(f(2))的值．解：f(0)＝1－01＋0＝1，f(1)＝1－11＋1＝0，

f(1－a)＝1－－a1＋－a＝a2－a(a≠2)，

1－1－2f(f(2))＝1－f1＋f＝1＋21＋1－2＝2. 1＋2[课时达标检测] 一、选择题

1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(

) A．f(x)＝|x|

B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x

解析：选C 验证C，f(x)＝x＋1. ∵f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，

∴f(2x)≠2f(x)，即f(x)＝x＋1不满足f(2x)＝2f(x)，故选C. 2．下列各组中的两个函数为相等函数的是(

) A．f(x)＝x＋1·x－1，

g(x)＝x＋x－

B．f(x)＝(2x－5)2，g(x)＝2x－5 C．f(x)＝1－xx2＋1，g(x)＝1＋xx2＋1

D．f(x)＝x4x，g(t)＝tt2

解析：选D

A中，f(x)＝x＋1·x－1的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝9

x＋2x－的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝5x≥(2x－5)的定义域为x2

，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函1－x1＋x数．C中，f(x)＝2与g(x)＝2的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝x＋1x＋1xx4＝x(x>0)t2与g(x)＝＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．

t3．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(

)

解析：选C A中的值域不是[0,1]，B中的定义域不是[0,1]，D中的图形不是函数的图象．

4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(

) A．y＝x 1C．y＝ B．y＝1x2

xD．y＝x＋1 12解析：选B y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝xx＋1的值域为[1，＋∞)．

2525．若函数y＝x－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－，－4，则m的取值范围是4(

) A．(0,4] 25B.－，－4

43D.，＋∞

23C.，3 2325当x＝时，y＝－. 24解析：选C 当x＝0，x＝3时，y＝－4，

3∴m∈，3，选C. 2二、填空题

6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．

10

1解析：由题意3a－1>a，得a>. 21答案：，＋∞

2

17．设f(x)＝，则f(f(x))＝________. 1－x11x－1解析：f(f(x))＝＝＝. 11－x－1x1－1－x1－x答案：x－1(x≠0，且x≠1)

xx－1的定义域为R，则m的取值范围为________．

mx＋x＋322238．若函数f(x)＝解析：要使原函数有意义，必须mx＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．

当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．

12当m≠0时，有Δ＝1－12m<0，解得m>. 121故综上可知，m的取值范围是mm>12

. 答案：1，＋∞

122三、解答题

9．(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域；

(2)已知f(x＋1)的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域．

解：(1)∵函数f(x＋1)中的x＋1相当于函数f(x)中的x，∴0≤x＋1≤1，

∴－1≤x≤0，∴x＝0，

∴f(x＋1)的定义域为{0}．

(2)∵f(x＋1)的定义域为[0,3]，

∴0≤x≤3，∴1≤x＋1≤2，

∴f(x)的定义域为[1,2]．

10．试求下列函数的定义域与值域：

(1)f(x)＝(x－1)＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；

(2)f(x)＝(x－1)＋1；

11 2222222

5x＋4(3)f(x)＝；

x－1(4)f(x)＝x－x＋1. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]＋1＝5，同理可得f(0)22，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．

(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．

(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝5x＋49x－1＝5＋x－1，所以函数的值域为{y|y≠5}．(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，

故函数的定义域是{x|x≥－1}．

设t＝x＋1，则x＝t2－1(t≥0)，

于是f(t)＝t2－1－t＝1t－22－54. 又因为t≥0，故f(t)≥－54. 所以函数的值域是yy≥－54

.

11．已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R. (1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；

(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．

解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；

f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；

f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0. (2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：

由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，

∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)．

12．已知函数f(x)＝x21＋x2. (1)求f(2)＋f12，f(3)＋f13的值；

(2)求证：f(x)＋f1x是定值；

12 ＝

(3)求f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2 017)＋f12 017的值．

解：(1)∵f(x)＝x21＋x2，

212∴f(2)＋f12＝221＋22＋＝1，

1＋12221f(3)＋f13＝3321＋32＋＝1. 1＋13221(2)证明：f(x)＋f1xxx2x21x2＋1＝1＋x2＋1＋1x＝＋x2＋x2＋1＝x2＋1＝1. 21(3)由(2)知f(x)＋f1x＝1，

∴f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1，

f(4)＋f1＝1，…，f(2 017)＋f142 017＝1. ∴f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2 017)＋f12 017＝2 016. 13