阅读与思考 函数概念的发展历程第二课时教案

1.2.1函数的概念（第一课时）

人教A版必修一

高一上学期

郑州市第四中学

高中数学组

范方方

课

型：新授课

学习目标：

1.结合实例加深对函数概念的理解，能用集合与对应的语言描述函数的概念,抓住函数定义中的关键字词，认清函数到底指的是什么，由哪些要素构成.（重、难点）

2.理解函数符号的含义.（难点）

3.会求简单函数的定义域，并能正确使用区间表示数集.（重点）

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数. 教学过程：

一、复习准备

台球游戏中，当你从不同的角度或力量发力时，就会产生不同的效果，计算机是如何进行分析的呢？为了研究运动变化的规律，人们一般借助于函数来研究. 初中学习的函数的定义是什么？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 高中是怎么定义函数概念的？请进入本节课的学习！

二、讲授新课：

（一）函数的概念：

（课本P15）给出三个实例：

例1．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h130t5t2. 例2．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见课本P15图）

例3．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（课本P16）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？

三个实例有什么不同点？有哪些共同点？

不同点：例1用解析式表示两个变量之间的关系；例2用图象表示两个变量之间的关系；例3用表格表示两个变量之间的关系. 相同点：（1）都有两个非空数集.

（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系. （3）对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应. 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:AB. 函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：yf(x),xA

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域（range）.显然，值域是集合B的子集. 例1.

判断下列对应能否表示y是x的函数？

（1）

y=|x|

（2）y=x 2

（3）|y|=x

（4）y2

=x

（5）

y2+x2=1

（6）y2-x2=1 思考：

1.yx(xR)是函数吗？

2.yx(x0)是函数吗？

3.y4.yx31x是函数吗？

1x(x0)是函数吗？

函数概念再认识

判断下列从集合A到集合B的对应是否是函数？

（元素对应的方式判断下列对应是否为函数）

例2.

下列图象能表示函数图象的是（

）

函数概念深加工

yy0xy0xy((0x

(0x(设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(

)

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

跟踪训练1 若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)

初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么？

（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；

（2）二次函数yax2bxc

(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值4acb24acb2Byy域Byy；当a﹤0时，值域.

4a4ak

（3）反比例函数y(k0)的定义域是xx0，值域是yy0. x1f(x).x2例4.已知函数

（1）求函数的定义域. （2）求

f(3)的值. （3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

2.求下列函数的定义域．

(1)f(x)＝x－1·4－x＋2；

(x＋1)0(2)y＝；

|x|－x(3)f(x)＝x＋3＋1. x＋2（二）区间及写法：

设a、b是两个实数，且a

（1）

满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2）

满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

（3）

满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为a,b,a,b；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点.（数轴表示见课本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.我们把满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别表示为a,,a,,

,b,,b. 注意：①区间可以表示一些连续性的数集②定义域、值域经常用区间表示③用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. 试用区间表示下列实数集

（1）{x|5 ≤

x<6}

（2）

{x|x ≥9}

（3）

{x|x ≤

-1} ∩{x| -5 ≤

x<2} （4）

{x|x < -9}∪{x| 9 < x<20} 判断正误

1、函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应. 2、函数的定义域和值域一定是无限集合. 3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定. 4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素. 5、对于不同的x ,对应的

y值也不同.

6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量. （三）课堂练习：

1．

用区间表示下列集合：

xx4,xx4且x0,xx4且x0,x1,xx0或x2

2．

已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值；

3．

课本P19练习2. 归纳小结：

1.本节课探讨了用集合与对应的语言描述函数的概念，并引入了函数符号y=f(x). 2.突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系. 3.明确了函数的三个构成要素：定义域，对应关系和值域. 4.区间是表示数集的一种方法，会把不等式表示的集合转化为区间形式.

作业布置：

习题1.2

A组

第4，5，6题. 课后记: