阅读与思考 函数概念的发展历程公开课参赛课教案

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第八讲

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上课教师姓

初等函数的图像及应用

一．考纲要求：

1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．

2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解

二．考点知识展望：

1．利用描点法作函数图象：其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其

次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

关于

x

轴对称

①y＝f(x)

――→

y＝－f(x)；

关于

y

轴对称

②y＝f(x)

――→

y＝f(－x)；

关于原点对称

③y＝f(x)

――→

y＝－f(－x)；

关于

y＝x

对称

④y＝ax(a＞0

且

a≠1)

――→

翻折变换

保留

x

轴上方图象

y＝logax． (3)①y＝f(x)

②y＝f(x)

(4)伸缩变换

①y＝f(x) ――→

――→

y＝|f(x)|．

y＝f(|x|)----偶函数．

将

x

轴下方图象翻折上去

保留

y

轴右边图象，并作其

关于

y

轴对称的图象

1 a＞1，横坐标缩短为原来的

倍，纵坐标不变

a f(ax)． 1 0＜a＜1，横坐标伸长为原来的

倍，纵坐标不变

a ②y＝f(x) a＞1，纵坐标伸长为原来的

a

倍，横坐标不变

→y＝af(x)．

0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的

a

倍，横坐标不变

3．辨明两个易误点：(1)在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的

x，y

变换”的原

则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．

(2)明确一个函数的图象关于

y

轴对称与两个函数的图象关于

y

轴对称的不同，前者是自身对称，且为

偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．

4．会用两种数学思想

(1)数形结合思想：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用

函数的图象，还可以判断方程

f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．

(2)分类讨论思想：画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象．

→y＝三．高考题型精讲：

没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！

1

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考点一

作函数的图象

例

1

作出下列函数的图象．

1 |x| (1)y＝2x＋2；

(2)y＝|lgx|；

(3)y＝

2 . [规律方法]

画函数图象的一般方法：

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据

这些函数或曲线的特征直接作出．

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作

出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变

换单位及解析式的影响．

(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图

象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．

课堂练习

1.作出函数

y＝10|lg

x

|的图象．

考点二识图与辨图

例

2(1)在同一坐标系中画出函数

y＝logax，y＝ax，y＝x＋a

的图象，可能正确的是(

)

1 (2)函数

f(x)＝ln x－

x

的图象是(

) 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！

2

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（3）.已知定义在区间[0,2]上的函数

y＝f(x)的图象如图所示，则

y＝－f(2－x)的图象为(

) [规律方法]

函数图象的识辨可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

课堂练习

2.(1)函数

f(x)＝loga|x|＋1(0

)

(2)在同一平面直角坐标系中，函数

y＝f(x)和

y＝g(x)的图象关于直线

y＝x

对称，现将

y＝g(x)的图象沿

x

轴向左平移

2

个单位，再沿

y

轴向上平移

1

个单位，所得图象是由两条线段组成的折线，如图，则函数

y ＝f(x)的表达式为________．

考点三函数图象的应用

函数的图象因其直观而形象地显示了函数的性质而成为高考命题的一个高频考点，常以选择题、填空

题的形式出现．高考对图象应用问题的考查主要有以下五个命题角度：

(1)研究两图象的交点个数；(2)利用函数的图象确定方程根的个数；

(3)利用函数图象研究函数性质；(4)利用函数图象研究不等式的解；

没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！

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(5)利用函数的图象求参数的取值范围．

例

3（1）（角度一：研究函数的性质）已知函数

f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) ) （2）（角度二：确定方程根的个数）已知函数

y＝f(x)的周期为

2，当

x∈[－1，1]时，

f(x)＝x2，那么函数

y＝f(x)的图象与函数

y＝|lgx|的图象的交点共有(

) A．10

个

B．9

个

C．8

个

D．1

个

|lg

x|，x>0，

则函数

y＝2f2(x)－3f(x)＋1

的零点个数是________．

变式

1：已知

f(x)＝

2|x|，x≤0，

ì

2-

|

x

|,

x

£

2

变式

2:已知函数

f

(x)

ï

,函数

g(x)

=

3-

f

(2

-

x)

,则函数

y

=

f

(x)

-

g(x)的零点的个数为

=

í

ï(x

-

2)

,

x

>

2 î

（

）(A)

2

(B)

3

2 (C)4

(D)5 （3）（角度三：求参数的取值范围）若函数

f（x）=|

2x

-2

|-b

有两个零点，则实数

b

的取值范围是_____. 变式

3：已知函数

f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程

f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数

k

的取值范围是

(

1 )A. 0，

2

1

C．(1,2)

2 B. ，1 D．(2，＋∞) 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！

4

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2－x－1（x≤0），

变式

4:已知函数

f(x)的定义域为

R，且

f(x)＝

f（x－1）（x>0），

若方程

f(x)＝x＋a

有两个不同实根，则

a

的

取值范围为(

)A．(－∞，1)

B．(－∞，1]

C．(0，1)

D．(－∞，＋∞) （4）（角度四：求不等式的解集）函数

f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上

fx

的图象如图所示，那么不等式

<0

的解集为______．

cos

x [规律方法]

(1)利用函数的图象研究函数的性质：对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质

(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关

系．

(2)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，

方程

f(x)＝0

的根就是函数

f(x)图象与

x

轴的交点的横坐标，方程

f(x)＝g(x)的根就是函数

f(x)与

g(x)图象的

交点的横坐标．

(3)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题

转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

课堂练习

3.已知函数

f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且

f(4)＝0. (1)求实数

m

的值；(2)作出函数

f(x)的图象；(3)根据图象指出

f(x)的单调递减区间；

(4)根据图象写出不等式

f(x)＞0

的解集；(5)求当

x∈[1，5)时函数的值域．

没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！

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