阅读与思考 函数概念的发展历程评课稿

教学设计：导数的综合问题

设计人：韦智什 时间：2019-1-21 一、教学目标:理解并掌握导数性质和应用

二、重点难点

1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程f（x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：

（1）求导数f（x）；

（2）求方程f（x）=0的根；

（3）检查f（x）在方程f（x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值. 2.设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值，以及f（a）和f（b），最大者为最大值，最小者为最小值. 3.导数的基本应用如下表：

'

f

()x＞0(或＜0)函数f(x)的单调性的判断可导函数的极值及其求法可导函数的最值及其求法实际问题导数'

f

()x=0

4.应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在区间内只有一个点使f（x）=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值. 三、例题选讲

'

f

()x=0

1

例1.求函数f（x）=x3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值。

解析：f（x）=3x2－3=0，x=±1，f（－3）=－17，f（0）=1，f（1）=－1，f（－1）=3. 例2.设函数x2f（x）=x3－2－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，求实数m的取值范围解析

解：f（x）=3x2－x－2=0，x=1，－2，

3f（－1）=51，f（－2）=522，f（1）=31，f（2）=7. 23272∴m<31. 2答案：m∈（－∞，7）

2

例3：已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值. （1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；

（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程. 解：（1）f（x）=3ax2+2bx－3，依题意，f（1）=f（－1）=0，即3a2b30,

3a2b30.解得a=1，b=0. ∴f（x）=x3－3x，f（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）. 令f（x）=0，得x=－1，x=1. 若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f（x）＞0，

故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数.

2

若x∈（－1，1），则f（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.

所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值. （2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x. ∵f（x0）=3x02－3，

∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）. 代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）. 解得x0=－2，∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0. 评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键. 例4：已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值－2. （1）求f（x）的单调区间和极大值； （2）证明：对任意x1、x2∈（－1，1），不等式|f（x1）－f（x2）|＜4恒成立. 剖析：∵x∈R且f（x）是奇函数，

∴f（0）=0. 又x=1是极值点，∴f（1）=0，由此可得函数的解析式. （1）解：由奇函数定义，

应有f（－x）=－f（x），x∈R，－ax3－cx+d=－ax3－cx－d，∴d=0. 因此f（x）=ax3+cx，f（x）=3ax2+c. 由题意知

ac2,

3ac0.3

解得a=1，c=－3. ∴f（x）=x3－3x，f（x）=3x3－3=3（x－1）（x+1），f（－1）=f（1）=0. 当x∈（－∞，－1）时，f（x）＞0，故f（x）在单调区间（－∞，－1）上是增函数，

当x∈（－1，1）时，f（x）＜0，故f（x）在单调区间（－1，1）上是减函数，

当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数. ∴（－∞，－1）和（1，+∞）为增区间；

（－1，1）为减区间，x=－1时，f（－1）=2为极大值，

x=－1时，f（1）=－2为极小值. （2）f（－1）=2，f（1）=－2. ∵f（x）在（－1，1）上是减函数，

∴对任意x1、x2∈（－1，1），有－2

－4

②存在闭区间［a，b］D，使f（x）在［a，b］上的值域也是［a，b］. （1）求闭函数y=－x3符合上述条件的区间［a，b］；

（2）若f（x）=x3－3x2－9x+4，判断f（x）是否为闭函数.

4

剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力. 解：（1）∵y=－x3，∴y′=－3x2≤0. ∴函数y=－x3为减函数. 3f(a)b,3ab,故即3

f(b)a,3ba.∴a1,所求闭区间为［－1，1］. b1.（2）f（x）=3x2－6x－9. 由f（x）≥0，得x≥3或x≤－1. 由f（x）≤0，得－1≤x≤3. ∴f（x）在定义域内不是单调函数.故f（x）不是闭函数. 评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的

例6.已知实数a>0，函数f（x）=ax（x－2）2（x∈R）有极大值32. （1）求实数a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间. 解：（1）∵f（x）=ax（x－2）2=ax3－4ax2+4ax，

∴f（x）=3ax2－8ax+4a. 由f（x）=0，得3ax2－8ax+4a=0. ∵a≠0，∴3x2－8x+4=0. 解得x=2或x=2. 3∵a>0，∴x<2或x>2时，f（x）>0；

32

5

8a－16a+8a=32，∴a=27. 2793（2）f（x）在（－∞，2）和（2，+∞）上是增函数，在（2，2）33上是减函数. 四．习题

1.求函数y=x4－8x2+2在［－1，3］上的最大值。

答案 f（x）max=f（3）=11. 2.已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x. （1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在［－3，1］上的最值. 解：（1）f（x）=4x3－3x2－18x+5. （2）（x）的最大值为16，最小值为－76. 3.已知f（x）=ax5－bx3+c（a>0）在x=±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值. 解： a=3，b=5，c=2. 4.（2000年全国）用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 解：当x=1时，y取得最大值且ymax=－2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2－2×1=1.2. 5. 设x=－2与x=4是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点. （1）求常数a、b；

（2）判断x=－2，x=4是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由. 答案：（1）a=－3，b=－24.

6

（2）f（x）=3（x+2）（x－4），得

x=－2是f（x）的极大值点.，f（x）>0，则x=4是f（x）的极小值

点.

7