阅读与思考 函数概念的发展历程优质课教案设计

函数的概念教学设计

【教学目的】

1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域;

3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号;

4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点】

在对应的基础上理解函数的概念

【教学难点】

函数概念的理解

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【教

具】

多媒体课件

【教学设计】

映射和函数的定义抽象性较强，对学生的能力要求较高，对于高一学生来说不易理解。而且函数在近年来高考有“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然

落在映射的概念和函数的概念及函数符号的理解与运用上，将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。而函数的定义以集合、映射的观点给出，与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，以教师讲授为主，运用引导、对比的手法，启发学生进行针对性反复比较几个概念的异同，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，使学生真正对函数概念有很准确的认识。

【教学过程】

一、复习引入

〖提问〗初中学习的(传统)的函数的定义是什么,初中学过哪些函数,

xx〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对yy xxx应，那么就说是自变量，是的函数，并将自变量取值的集合叫做函数的定义域，和自变量y x的值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们y 称之为函数的传统定义。

〖讲述〗初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

x〖提问〗问题1:=1(?)是函数吗, Ry 2xx问题2:=与=是同一函数吗, yyx 〖投影〗观察对应:

1

〖分析〗观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系,

二、讲授新课

〖板书〗函数的概念

,一,函数的有关概念

x〖投影〗设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，f在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称:A?B为从集合A到集合B的一个函f(x)f xxxx数，记作=，?A。其中叫自变量，的取值范围A叫做函数=的定义域;与f(x)f(x)yy x的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|?A}，叫做函数=f(x)的值域。

yy x函数符号=表示“是的函数”，有时简记作函数。

f(x)f(x)yy 〖注意〗(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f:A?B。这里A，B为非空的数集。

xx(2)A:定义域～原象的集合,{f(x)|?A}:值域～象的集合～其中{f(x)|?A}B, x:对应法则～?A～?B fy x(3)函数符号:=f(x)，是的函数～简记f(x) yy 〖回顾〗,二,已学函数的定义域和值域:

axa1、一次函数f(x)=，(?0):定义域，值域

RRb kxx2、反比例函数f(x)=(?0):定义域{|?0}，值域{y | y?0} kx

4acb2,2axcaa3、二次函数f(x)=，，(?0):定义域，值域:当,0时，,|?,;Ryybx4a4acb2,a当,0时，,|?,。

yy4a 〖板书〗,三,函数的值:关于函数值f(a)

2xxf(x)f(2)例析:若=，3，1，求。

2解:f(2)=2，3×2，1=11

f(x)f〖注意〗(1)在=中表示对应法则，不同的函数其含义不一样; y f(x) (2)不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”;

f(x)f(a)f(a)f(x) (3)与是不同的，前者为变数，后者为常数，是的一个特殊值。

xff(x)〖板书〗,四,函数的三要素:对应法则、定义域A、值域{|?A}

注:只有当这三要素完全相同时～两个函数才能称为同一函数。

〖板书〗,五,区间的概念

〖阅读〗学生阅读课本P47

aa〖投影〗设、是两个实数，而且,，我们规定: bb axxa(1)满足不等式??的实数的集合叫做闭区间，表示为[,]; bb axxa(2)满足不等式,,的实数的集合叫做开区间，表示为(,); bb axaxx[a,b)(3)满足不等式?,或者,?的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为、bb (a,b];

xaxaxx(4)实数集可以用区间表示为(,?,，?);满足不等式?，,，?，,的Rbb

2 实数x的集合可以分别表示为[a,，?，(a,，?)，(,?,，(,?,)。

)]bb〖注意〗注意集合与区间之间的关系:区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中

axa不等式两端的两个实数可以相等，如??。

三、实例提升

xx〖例析〗例1、设集合M={|0??2}，N={|0??2}，从M到N有4种对应如下图所示: yy 其中能表示为M到N的函数关系的有

? ? 。

〖解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出??能表示M到N的函数关系。

〖例析〗例2、求下列函数的定义域:

11f(x),3x，2x，1?; ?f(x)=; ?f(x)=，

x,22,x〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式=f(x)，而没有指明它的y x定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

1xx解:??,2=0，即=2时，分式无意义，

x,2 1x而?2时，分式有意义

x,2 xx?这个函数的定义域是{|?2}。

2xx3x，2??3，2<0，即,时，根式无意义

,3 2xx3x，2而3，2?0，即?时，根式才有意义

,3 2xx?这个函数的定义域是{|?}。

,3

xx??当，1?0且2,?0，

1xxx，1即?,1且?2时，根式和分式同时有意义

2,x xxx?这个函数的定义域是{|?,1且?2}

xxxx另解:要使函数有意义，必须:，1?0且2,?0,?,1且?2

xxx ?这个函数的定义域是:{|?,1且?2}

〖强调〗解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。

〖板书〗求函数的定义域的常见类型:

3 ,1,当为整式时～定义域为, f(x)R x,2,当为分式时～定义域为使分母不为0的的集合, f(x) ,3,当为n次根式中的偶次根式时～定义域为使被开方式非负的x的集合, f(x) ,4,当是由几个式子组成时～定义域是使各个式子都有意义的x的取值的集合。

f(x) 2f(,2)xx〖例析〗例3、已知函数=3,5，2，求，，。

f(x)f(3)f(a，1) 2〖解析〗解:(3)=3×3,5×3，2=14; f 2f(,2)=3×(,),5×(,)，2=8，5; 222

22aaaa=3(，1),5(，1)+2=3，。

f(a，1) x〖例析〗例4、下列函数中哪个与函数=是同一个函数, y 2332y,(x)(1); (2); (3) y,xy,x xx〖解析〗解:(1)=，?0，?0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数; yy xx(2)=，?，?，定义域值域都相同，是同一个函数; RRyy x(x,0),x(3)=||=，?0;值域不同，不是同一个函数。

yy,,x(x,0), 〖例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数,

(x，3)(x,5)y,(1) y,x,5 (定义域不同) 21x，3 y,x，1x,1(2) (定义域不同) y,(x，1)(x,1)12 2f(x),(2x,5)f(x),2x,5(3) (定义域、值域都不同) 12 〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。

四、演练反馈

23xf(x),，lg(3x，1)1、函数的定义域是( B )

1,x 11111A( B( C( D( (,,，,)(,,1)(,,)(,,,,)33333 2、下列各组，函数与表示同一个函数的是( D ) f(x)g(x) 2x0 0 xx A(f(x)=1，g(x)=B(f(x)=，g(x)= x 492 33(x)(x)xxC(=，= D(=，= f(x)g(x)f(x)g(x)

x3、已知函数f(x)=2,3，求:

(1)，，; f(0)f(2)f(5) f[f(x)](2);

x(3)若?{0，1，2，3}，求函数的值域。

答案:(1)f(0)=,3，f(2)=1，f(5)=7;

xf[f(x)](2)=4,9;

(3)值域为{,3，,1，1，3}

五、课堂小结

f本节课学习了以下内容:函数是一种特殊的对应:A?B，其中集合A，B必须是非空的数

x集;y,f(x)表示是的函数;函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则y 一经确定，值域随之确定;判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数; xaxf(a)f(x)f(x)表示在=时的函数值，是常量;而是的函数，通常是变量。

六、课后作业

课本习题P51

4 【板书设计】

【教后札记】

本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的概念～主要包括函数的概念、三要素的理解～难点是函数定义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函数的传统定义～并学习了几类简单的函数～所以在高中重新定义函数时～学生并不陌生～重要的是让学生认识到它的优越性～从根本上揭示了函数的本质——由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体～通过例题解析让学生充分理解函数的