阅读与思考 函数概念的发展历程公开课教学设计模版

第8课时

几种常见的基本函数的

图象与性质

1.通过前一节的学习了解了函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法,复习一次函数、二次函数、反比例函数的三种表示方法.

2.会用待定系数法和换元法等方法求函数的解析式和定义域.

3.能够结合函数的图象,求解一次函数、二次函数、反比例函数的值域.

高台跳水运动员高出跳台的高度h随时间t变化的函数h(t)=-3t2+6t+9的图象如图,请问运动员从起跳到最高点所用的时间是多少?当t∈[2,2.5]时,运动员的高度变化范围是什么?

问题1:函数h(t)=-3t2+6t+9=-3(t-1)2+12,当t=1时,h(t)达到最大,最大为12.当t∈[2,2.5]时,因为h(2)=9,h(2.5)=

=5.25,所以由函数h(t)的图象可知运动员的高度变化范围是[5.25,9].

问题2:一次函数y=kx+b(k≠0)的定义域为R时,值域为

.当k>0时,一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的值域为

;当k<0时,一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的值域为

.

问题3:二次函数的解析式有三种形式

(1)一般式:

.

(2)顶点式:

,顶点为

.

(3)两根式:

,函数图象与x轴交点的坐标为

.

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为

.

当a>0时,值域为

; 当a<0时,值域为

.

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的值域如下表: f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

a>0

a<0

图象

对称轴

x=-

-

)

顶点

(-,当m

[f(n),f(m)]

[f(m),f(n)]

当m<-

近对称轴时

域

当m<-

当-≤m

-

,f(n)]

[f(n), -

]

-

,f(m)]

[f(m), -

]

[f(m),f(n)]

[f(n),f(m)]

问题4:反比例函数f(x)=

(k≠0)的定义域为

,值域为

.f(x)=

(k≠0)在区间[m,n]上的值域如下表.

f(x)=(k≠0)

k>0

k<0

图象

对称中心

值

当m

0

[f(n),f(m)]

(0,0)

[f(m),f(n)]

函数的解析式的求法

(1)二次函数y=f(x)的最小值为4,且f(0)=f(2)=6,求f(x)的解析式.

(2)已知f(

)=

,求

f(x)的解析式.

(3)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x)的解析式.

求函数的值域方法

求下列函数的值域: (1)y=3+

-

; (2)f(x)=x2-2x(-1≤x≤2); (3)y= ;

-

(4)y=2x+4

-

.

含参数函数的值域讨论

求函数f(x)=2x2-8x在x∈[t,t+1]上的值域.

已知函数f(x-1)=x-1+

- .

(1)求函数y=f(x)的解析式; (2)求y=f(x)的值域.

考题变式(我来改编):

知识体系梳理第8课时几种常见的基本函数的图象与性质

问题2:R

[f(m),f(n)]

[f(n),f(m)] 问题3:(1)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

(2)f(x)=a(x-x0)2+y0(a≠0)

(x0,y0)

(3)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

(x1,0),(x2,0)

R

-

[

,+∞)

-

(-∞,

] 问题4:{x|x≠0}

{y|y≠0}

重点难点探究

探究一:【解析】(1)因为二次函数f(0)=f(2)=6,所以函数关于直线x=1对称,又因为最小值为4,所以设二次函数y=f(x)=a(x-1)2+4(a>0),令x=0,得a+4=6,所以a=2,所以函数f(x)的解析式为y=f(x)=2x2-4x+6.

-

-

=t2-t+1,

-

(2)(法一)设 t=

,则

x=,所以

-

f(t)=所以f(x)=x2-x+1.

(法二)f(

)=f(1+)=

=1++

=(1+)2-(1+)+1,

所以f(x)=x2-x+1.

(3)因为f(x)满足2f(x)+f()=3x,2f()+f(x)=,所以消去f()得f(x)=2x-.

【小结】求函数解析式的方法有:(1)换元法;(2)待定系数法:如一次函数为y=kx+b(k≠0),二次函数为

y=ax2+bx+c或y=a(x-x0)2+y0,其中(x0,y0)为顶点等;(3)解方程组法:若所求的解析式中给出了形如f(x)、f(-x)、f(

)的变量作为已知条件可用解方程组法.

探究二:【解析】(1)y=3+

-

,∵

-

∈[0,+∞),∴f(x)∈[3,+∞), 即函数y=f(x)=3+

-

的值域是{y|y≥3}.

(2)f(x)的图象如图所示,观察f(x)的图象可知,

f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],则f(x)的值域是[-1,3].

(3)把已知函数化为函数y=1+

,x≠1,由此可得

-

y≠1,∴函数y= 的值域为{y|y≠1}.

-

(4)设t=

-

,则x=1-t2,t≥0,代入得y=f(t)=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4, ∵t≥0,∴y≤4.∴函数的值域为(-∞,4].

【小结】求函数的值域常用的方法有:(1)直接观察法;(2)数形结合法;(3)配方法;(4)判别式法;(5)分离常数法;(6)换元法;(7)反求法等,其中利用函数的图象求函数的值域比较直观.

探究三:【解析】f(x)=2x2-8x=2(x-2)2-8,其图象的开口方向向上,对称轴为x=2, 所以当t+1≤2,即t≤1时,函数的值域为[f(t+1),f(t)],即[2t2-4t-6,2t2-8t]; 当12时,函数的值域为[f(t),f(t+1)],即[2t2-8t,2t2-4t-6].

【小结】在研究二次函数在区间上的值域时,要结合函数的图象,判断所给区间与函数对称轴的位置关系,如果不确定需要分类讨论分别求解.

全新视角拓展

【解析】(1)由

- 有意义,可知x≤,令t=x-1≤,则x=t+1,f(t)=t+

- ,

∴f(x)=x+

- (x≤

).

(2)令

- =m,则1-2x=m2,∴x=

-

,

f(x)=g(m)=

-

+m=-(m-1)2+1,m≥0,

∴函数f(x)的值域为(-∞,1].