阅读与思考 函数概念的发展历程优秀教案说课稿

数形结合思想的应用

教师————张宏金

教学目标：

1.

理解数形结合思想的本质：几何图形的性质反应了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。

2.

掌握运用数形结合思想分析解决函数问题，不等式问题，方程问题等的过程掌握“以形助数，用数解形”的基本思路方法。

3.

发展融会贯通，迁移整合知识的能力，归纳探索的能力和在新情境下解决新问题的创新能力。

教学重点：

1.

理解数形结合的本质。

2.

正确运用数形结合思想解决有关数学问题。

教学难点：

通过图形探究数量关系，通过数量关系研究数量关系。

教学过程：

教学引入：

1)

借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的.

2)

借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的. 3)

数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 例题选讲：

|x|，x≤m，典例1：

已知函数f(x)＝2其中m＞0.若存在实数b，x－2mx＋4m，x＞m，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

解析：x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.由题意画出函数图象为下图时才符合，要满足存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，应4m－m2＜m，解得m＞3，即m的取值范围为(3，＋∞)．

反思：1．讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．

2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．

x2－1，x＞0，练习1：已知函数f(x)＝2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的－x－2x，x≤0，

取值范围是________．

典例2：设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(

) A．(－∞，－1)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0)

D．(0,1)∪(1，＋∞) fx解析：设g(x)＝x(x≠0)，

xf则g′(x)＝x－fx，

x2当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，

∴g′(x)＜0，

∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵f(x)为奇函数，

∴g(x)为偶函数，

∴g(x)的图象如图所示．

当x＞0时，由f(x)＞0，得g(x)＞0，由图知0＜x＜1，

当x＜0时，由f(x)＞0，得g(x)＜0，由图知x＜－1，

∴使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.

反思：1．本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围．

2．求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．

1练习2.若不等式|x－2a|≥2x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是______________．

典例3：已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(

) A．7 B．6

C．5 D．4 解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，1因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝2|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.

反思：1．本题利用数形结合思想求最值，把m的值转化为圆上的点到原点的距离．

2．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．

y2练习3:过双曲线x－15＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)22＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(

) A．10 B．13 C．16 D．19 解析：选B.在同一坐标系中作出双曲线及圆C1和圆C2的图象(图略)，可知两圆心与双曲线焦点重合．

由题意可得，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13. 小结：

作业：